Лінійна алгебрична група

У математиці, лінійною алгебричною групою називається підгрупа групи оборотних матриць розмірності n×n (з операцією множення матриць), що задається поліноміальними рівняннями. Еквівалентно лінійною алгебричною групою називається афінний многовид, що одночасно є групою операції на якій є морфізмами афінних многовидів. Еквівалентність двох означень є одним з найважливіших результатів теорії цих груп.

Головними прикладами лінійних алгебричних груп є деякі класичні групи Лі, для яких поле є дійсним чи комплексним полем. Наприклад, будь-яка компактна група Лі може розглядатися як група дійсних точок дійсної лінійної алгебричної групи, завдяки теоремі Петера — Вейля.

Теорія лінійних алгебричних груп значно залежить від поля над яким ці групи задані, як афінні многовиди. Для алгебрично замкнутих полів (особливо характеристики 0) лінійні алгебричні властивості мають багато спільного з групами Лі. Для довільних полів теорія є складнішою і не настільки добре вивченою. У перших розділах статті описуються властивості для алгебрично замкнутих полів.

Історія

Теорія лінійних алгебричних груп виникла з потреб розв'язування лінійних диференціальних рівнянь в квадратурі (так звана теорія Галуа диференціальних рівнянь) наприкінці 19 століття у працях Софуса Лі, Людвіга Маурера, Вільгельма Кіллінга, Елі Картана і початкове вивчення лінійних алгебричних груп над полем комплексних чисел проводилося по аналогії з теорією груп Лі методом алгебр Лі. Лінійна алгебрична група $G$ над полем комплексних чисел $ℂ$ може розглядатися як аналітична підгрупа групи $G L_{n} (ℂ)$ .

Методи теорії алгебричних груп і алгебр Лі в середині 20 століття були істотно вдосконалені і узагальнені Клодом Шевальє, що дозволило йому застосувати їх до вивчення лінійних алгебричних груп над довільними полями нульової характеристики. Для полів ненульової характеристики метод алгебр Лі є менш ефективним, так що природно виникла необхідність глобального дослідження лінійних алгебричних груп з допомогою методів алгебричної геометрії. Основи глобального дослідження лінійних алгебричних груп були закладені Арманом Борелем.

Означення

Лінійна алгебрична група є за означенням, афінним алгебричним многовид G на якому задані два морфізми

μ : G \times G \to G, i : G \to G

що задовольняють звичні аксіоми групи.

Гомоморфізм груп (як абстрактних груп), що є також морфізмом алгебричних многовидів, називається гомоморфізмом алгебричних груп. Підгрупа (у розумінні абстрактної теорії груп) лінійної алгебричної групи, що є також замкнутою множиною у топології Зариського має структуру лінійної алгебричної групи і називається підгрупою лінійної алгебричної групи.

Багато базових понять абстрактної теорії груп можна ввести також і для лінійних алгебричних груп. Наприклад, нормалізатор, центр, і централізатор замкнутої підгрупи H деякої лінійної алгебричної групи G є також замкнутими і тому лінійними алгебричними групами.

Еквівалентно означення лінійної алгебричної групи можна дати за допомогою структури алгебри Гопфа (тобто алгебр із додатковою узгодженою коалгебричною структурою) на координатній алгебрі $A = k [G]$ . Групові операції, як морфізми афінних многовидів тоді визначають на координатній алгебрі операції $Δ : A \mapsto A \otimes_{k} A$ і $i : A \mapsto A$ , а одиничний елемент задає гомоморфізм $e : A \mapsto k$ .

Задані таким чином відображення задовольняють властивості комноження, антипода і коодиниці і разом з операціями у алгебрі $A = k [G]$ утворюють структуру алгебри Гопфа на $k [G]$ . Навпаки якщо на деякій скінченнопородженій цілісній редукованій алгебрі над полем задана структура алгебри Гопфа, то розглядаючи відповідний афінний многовид морфізми, що відповідають комноженню і антиподу і елемент, що відповідає коодиниці будуть множенням, обертанням і одиницею групи. Відповідно многовид буде лінійною алгебричною групою.

Іншими словами функтор $G \mapsto k [G]$ , що ставить у відповідність лінійній алгебричній групі її координатну алгебру задає еквівалентність категорій лінійних алгебричних груп і алгебр Гопфа.

Приклади

Група $𝔾_{m} = G L_{1}$ називається мультиплікативною групою. Алгеброю Гопфа мультиплікативної групи $𝐆_{m}$ є $k [X, X^{- 1}]$ з комноженням заданим як $X \mapsto X \otimes X$ , антиподом $X \mapsto X^{- 1}$ і коодиницею $X \mapsto 1$ .
Група $𝔾_{a}$ елементів k (з операцією додавання), що називається адитивною групою може також бути записана як матрична група, елементами якої є матриці виду:

[\begin{matrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{matrix}] .

Алгеброю Гопфа адитивної групи

𝐆_{m}

є

k [X]

з комноженням заданим як

X \mapsto X \otimes 1 + 1 \otimes X

, антиподом

X \mapsto - X

і коодиницею

X \mapsto 0

.

Загальна лінійна група $G L_{n} (k)$ , що складається з оборотних квадратних матриць розмірності n над полем k є лінійною алгебричною групою. Вона є афінним многовидом оскільки множина $G L_{n}$ є головною відкритою множиною, що є доповненням замкнутої множини $V (\det (X))$ і згідно теорії алгебричних многовидів головні відкриті множини є афінними многовидами. Множення матриць є поліноміальною операцією від елементів матриць і обернена матриця є поліноміальною операцією від елементів матриць і $\frac{1}{\det (X)}$ . Тому і множення матриць і обертання матриці є морфізмами афінних многовидів.

Координатна алгебра цієї групи рівна

A = k [G L_{n}] = k [X_{i j}, (\det (X))^{- 1}]

, де

X_{i j}

— координатні функції на матриці. Комноження задається на базисних елементах як

Δ (X_{i j}) = \sum_{h = 1}^{n} X_{i h} \otimes X_{h j}

, а значенням антипода

i (X_{i j})

-

(i, j)

— елемент матриці

X^{- 1}

. Коодиниця на базисних елементах задається як

e (X_{i j}) = σ_{i j}

.

Будь-які замкнуті (в топології Зариського) підгрупи загальної лінійної групи є лінійними алгебричним (і навпаки всі лінійні алгебричні групи мають такий вид). Важливими прикладами є зокрема скінченні групи, невироджені діагональні матриці $D_{n} (k)$ , спеціальні лінійні групи $S L_{n} (k)$ , ортогональні групи $O_{n} (k)$ , спеціальні ортогональні групи $S O_{n} (k)$ , симплектичні групи $S p_{n} (k)$ , верхні трикутні матриці $T_{n} (k)$ і уніпотентні верхні трикутні матриці $U_{n} (k)$ , тобто матриці виду

(\begin{matrix} 1 & * & \dots * \\ 0 & 1 & ⋱ & * \\ \dots & ⋱ & ⋱ & * \\ 0 & \dots & 0 & 1 \end{matrix})

.

Основні властивості

Для будь-якої алгебричної групи G, що є афінним многовидом з узгодженою структурою існує точне лінійне представлення V, що також є морфізмом многовидів, тобто, G є замкнутою підгрупою $G L_{n} (k)$ . Таким чином два можливих означення цих груп, як афінних многовидів і замкнутих (в топології Зариського) підгруп загальної лінійної групи є еквівалентними.
Лінійна алгебрична група є незвідною тоді і тільки тоді коли вона є зв'язаною.
У лінійній алгебричній групі G існує єдина компонента одиниці $G^{\circ}$ , тобто компонента зв'язності що містить одиничний елемент алгебричної групи G. $G^{\circ}$ є нормальною підгрупою скінченного індексу. Будь-яка замкнута підгрупа скінченного індексу групи $G$ містить компоненту одиниці.
Ядро гомоморфізму лінійних алгебричних груп є замкнутою нормальною підгрупою. Образ гомоморфізму є замкнутою підгрупою. Образ компоненти одиниці при гомоморфізмі лінійних груп буде рівним компоненті одиниці образу гомоморфізму.
Нехай $G$ — лінійна алгебрична група і $(G_{i})_{i \in I}$ — множина її замкнутих зв'язаних підгруп. Тоді підгрупа $H$ породжена цією множиною підгруп буде замкнутою і зв'язаною і існує така скінченна підмножина з цих підгруп (позначимо їх $G_{1}, \dots, G_{n}$ ) що $H = G_{1} G_{2} \cdot \dots \cdot G_{n}$ .
Нехай $G$ — лінійна алгебрична група і $ρ$ — її представлення як підгрупи $G L_{n} (k)$ . Тоді для кожного елемента $g \in G$ існують єдині елементи $g_{s} \in G$ і $g_{u} \in G$ такі, що $g = g_{u} g_{s} = g_{s} g_{u}$ і також $ρ (g_{s}) = ρ (g)_{s} ρ (g_{u}) = ρ (g)_{u}$ , де $ρ (g)_{s}, ρ (g)_{u}$ позначають напівпросту і уніпотентну компоненти розкладу Жордана — Шевальє відповідних ендоморфізмів. До того ж елементи $g_{s}, g_{u}$ не залежать від вибору $ρ$ і якщо $φ : G \to G^{'}$ — гомоморфізм лінійних алгебричних груп то також $φ (g_{s}) = φ (g)_{s} φ (g_{u}) = φ (g)_{u}$ . Елементи $g_{s}, g_{u}$ називаються напівпростою і уніпотентною частинами елемента групи. Елементи групи називаються напівпростими і унівалентними, якщо вони рівні, відповідно, своїй напівпростій і унівалентній частині. Якщо $G = G L_{n} (k)$ , то $g_{s}, g_{u}$ є напівпростою і уніпотентною компонентами розкладу Жордана — Шевальє.

Алгебра Лі групи G

Алгебра Лі $𝔤$ алгебричної групи G може бути описана кількома еквівалентними способами: як дотичний простір $T_{e} (G)$ в одиничному елементі або як простір лівоінваріантних диференціювань, тобто, диференціювань $\partial : k [G] \to k [G]$ координатного кільця G для яких

\partial λ_{x} = λ_{x} \partial,

де $λ_{x} : k [G] \to k [G]$ є лівим множенням для елемента $x \in G$ .

Для фіксованого $x \in G$ диференціювання спряження $μ : G \to G, g \mapsto x g x^{- 1}$ називається приєднаним представленням:

A d : G \to Aut (𝔤) .

Зв'язок між алгебричною групою G і її алгеброю Лі k є особливо тісним для полів характеристики нуль.

У цьому випадку замкнута зв'язана підгрупа H лінійної алгебричної групи G однозначно визначається своєю підалгеброю Лі $𝔥 \subset 𝔤$ .

Натомість не кожна підалгебра Лі відповідає якійсь лінійній алгебричній групі. Наприклад у випадку загальної лінійної групи порядку n у алгебрично замкнутому полі її алгеброю Лі є алгебра усіх ендоморфізмів n-вимірного векторного простору (чи еквівалентно усіх квадратних матриць порядку n). При цих умовах підалгебра Лі буде алгебричною (тобто алгеброю Лі деякої лінійної алгебричної групи) тоді і тільки тоді коли разом з елементом $v$ цій алгебрі також належать елементи $v_{s}$ і $v_{n}$ (де $v_{s}, v_{n}$ - напівпроста і нільпотентна компоненти адитивного розкладу Жордана — Шевальє) і якщо діагоналізація напівпростого ендоморфізму має вигляд $v_{s} = d i a g (s_{1}, \dots, s_{m})$ то алгебрі також належать усі ендоморфізми виду $d i a g (Φ (s_{1}), \dots, Φ (s_{m}))$ , де $Φ$ — деяке $ℚ$ -лінійне відображення базового поля k.

У випадку полів додатної характеристики різним зв'язаним підгрупам може відповідати одна алгебра Лі.

Основні типи груп і підгруп і класифікація

Тори і діагоналізовні групи

Група що є ізоморфною $𝐆_{m}^{n}$ , (добутку n копій мультиплікативної групи, називається алгебричним тором. Зокрема, група $D_{n}$ діагональних матриць розмірності n є тором.

Для лінійної алгебричної групи $G$ підгрупа називається максимальним тором, якщо вона є алгебричним тором і не є власною підмножиною жодного іншого тора. Наприклад підгрупа діагональних матриць $D_{n}$ є максимальним тором групи усіх невироджених матриць розмірності n. Усі максимальні тори є спряженими підгрупами. Розмірність максимальних торів називається рангом алгебричної групи.

Алгебричні групи що є ізоморфними замкнутій підгрупі $D_{n}$ називаються діагоналізовними. Ці групи визначаються своїми характерами , тобто, гомоморфізмами алгебричних груп

χ : G \to 𝐆_{m} .

Множина таких характерів $X (G)$ є абелевою групою для будь-якої G. Зіставлення

G \mapsto X (G)

задає еквівалентність категорій діагоналізовних алгебричних груп і абстрактних абелевих групи без p-кручення, де p є характеристикою поля k.

Для будь-якої (не обов'язково діагоналізовної) G, група $Y (G) : = Hom (𝐆_{m}, G)$ кохарактерів є двоїстою групі $X (G)$ характерів.

Діагоналізовна група є прямим добутком тора і скінченної абелевої групи порядок якої є числом взаємно простим із характеристикою основного поля. При цьому вона є тором тоді і тільки тоді коли вона є зв'язаною.

Розв'язні групи і підгрупи Бореля

Лінійна алгебрична група називається розв'язною, якщо вона є розв'язною як абстрактна група. Згідно теореми Лі — Колчина будь-яка зв'язна розв'язна група (якщо її розглядати як замкнуту підгрупу загальної лінійної групи) є спряженою деякій підгрупі $T_{n} (k)$ .

Згідно теорема Бореля про фіксовану точку зв'язана розв'язна група G що діє на непустому повному алгебричному многовиді X має точку x що фіксується усіма $g \in G$ .

Важливими для вивчення і класифікації лінійних алгебричних груп є підгрупи Бореля, тобто, максимальні зв'язні нормальні розв'язні підгрупи. Наприклад, підгрупою Бореля групи $G L_{n} (k)$ є підгрупа $T_{n} (k)$ верхніх трикутних матриць (для яких всі елементи нижче діагоналі є рівними нулю). Підгрупи Бореля B G дозволяють звести деякі питання про алгебричні групи до розв'язних груп. Наприклад, будь-який тор T міститься в деякій підгрупі Бореля B. Кожен елемент групи теж належить деякій підгрупі Бореля.

Для підгрупи H групи G, на фактор-просторі G/H можна ввести структуру алгебричного многовида. Підгрупи Бореля є мінімальними серед підгруп для яких цей фактор-простір є проєктивним многовидом, тобто, ізоморфним замкнутій множині в деякому $ℙ_{k}^{n}$ .

Підгрупи G що містять підгрупу Бореля називаються параболічними. Наприклад, параболічними підгрупами групи $G L_{3} (k)$ що містять підгрупу Бореля $T_{3} (k)$ є

{[\begin{matrix} * & * & * \\ 0 & * & * \\ 0 & * & * \end{matrix}]}

і

{[\begin{matrix} * & * & * \\ * & * & * \\ 0 & 0 & * \end{matrix}]} .

Уніпотентні групи

Ще одним важливим прикладом є підгрупа $U_{n} (k) \subset T_{n} (k)$ де усі діагональні елементи є рівними 1. Матриці A у цій групі є уніпотентними, тобто, $A - id$ є нільпотентними. Група $T_{n} (k)$ є напівпрямим добутком груп $U_{n}$ і $D_{n}$ . Більш загально, будь-яка зв'язна розв'язна група G є напівпрямим добутком

G = T ⋉ G_{u}

де T — максимальний тор і $G_{u}$ — підгрупа уніпотентних елементів.

Напівпроста і редуктивна групи

Радикалом R(G) лінійної алгебричної групи G називається максимальна зв'язна розв'язна підгрупа G. Пов'язаним є поняття уніпотентного радикалу $R_{u} (G)$ що складається з уніпотентних елементів $R (G)$ . Якщо підгрупа $R (G)$ (відповідно $R_{u} (G)$ ) є тривіальною, то G називається напівпростою (відповідно редуктивною). Наприклад, радикал $G L_{n} (k)$ є рівним центру (що є ізоморфним $G_{m}$ ) і не містить уніпотентних елементів за винятком 1, тож $G L_{n}$ є редуктивною групою. Подібним чином доводиться, що $S L_{n} (k)$ є напівпростою групою.

Класифікація лінійних алгебричних груп

Класифікація лінійних алгебричних груп в основному зводиться до класифікації для двох типів лінійних алгебричних груп: напівпростих і розв'язних. Фундаментальним результатом є класифікація Клодом Шевальє напівпростих (і, більш загально, редуктивних) лінійних алгебричних груп над алгебрично замкнутими полями довільної характеристики. Ця класифікація аналогічна класифікації Картана — Кіллінга комплексних напівпростих груп Лі. Класифікація Шевальє ґрунтується на тому, що для напівпростих алгебричних груп будуються аналоги елементів теорії Картана — Кіллінга — підгрупа Картана (що за означенням рівна централізатору максимального тора), корені і т. д. Важливу роль при цьому відіграють підгрупи Бореля і максимальні алгебричні тори.

Нехай $G$ — напівпроста лінійна алгебрична група, $T$ — її максимальний тор, $N_{G} (T)$ — нормалізатор $T$ у $G$ , $W = N_{G} (T) / T$ — група Вейля групи $G$ . Тор T міститься лише в скінченній кількості підгруп Бореля групи $G$ , які транзитивно переставляються спряженням елементами з $N_{G} (T)$ . За допомогою підгруп Бореля, що містять $T$ , будуються мономорфізми адитивної групи поля в підгрупи Бореля (що містять $T$ ), які відіграють роль коренів. За допомогою техніки розкладів Брюа доводиться, що зазначена система структурних елементів допускає повну класифікацію і визначає групу $G$ з точністю до ізоморфізму. Остаточна класифікація напівпростих груп не залежить від характеристики основного поля і тому збігається з класифікацією комплексних напівпростих алгебричних груп.

Теорія для загальних полів

Теорія лінійних алгебричних груп над полем k, що не є алгебрично замкнутим є складнішою, ніж у випадку алгебрично замкнутого. Наприклад, у цьому випадку є важливі відмінності між k-розкладними торами (що є ізоморфними $G_{m}$ над полем k) і торами, що не розкладаються. Останні розкладаються після переходу до скінченного розширення поля k.

Якщо у групі немає максимальних торів, що розкладаються, важливим є дослідження k-розкладних торів і максимальних елементів серед них. У разі довільного поля k максимальні k-розкладні тори відіграють роль, аналогічну ролі максимальних алгебричних торів в групі G над алгебрично замкнутим полем. Максимальні k-розкладні тори в $G$ є спряженими. Якщо у групі є розщеплений тор розмірності принаймні 1 то група називається ізотропною. В іншому випадку вона називається анізотропною. k-ізотропність для напівпростої групи G еквівалентна тому, що група G має неодиничні уніпотентні елементи.

Роль підгрупи Бореля в разі довільного поля до відіграє мінімальна параболічна k-підгрупа, тобто мінімальна k-визначена підгрупа G, що містить підгрупу Бореля. Природно означається коренева система щодо максимального k-розкладного тора в G і відповідна група Вейля. Якщо група $G$ має k-розкладний максимальний тор, то ці структурні елементи не залежать від поля k і визначають такі групи з точністю до k-ізоморфізмів. Групи, які мають k-розкладні максимальні тори, називаються k-розкладними, або групами Шевальє.

Застосування

Дія групи і геометрична теорія інваріантів

В алгебричній геометрії часто важливою є дія лінійної алгебричної групи на алгебричному многовиді

G \times X \to X .

Такі дії на практиці часто виникають коли G є деякою групою автоморфізмів; Наприклад $G L_{n}$ є групою усіх автоморфізмів n-вимірного векторного простору, а ортогональна група, групою автоморфізмів, що не змінюють скалярний добуток.

Якщо G є уніпотентною і X афінним многовидом, то кожна G-орбіта $G x$ є замкнутою.

Об'єктом геометричної теорії інваріантів є вивчення фактор-простору

G ∖ X

G-дії на X. Загалом цей фактор-простір може не бути алгебричним многовидом оскільки кільце (для афінного многовида X)

(k [X])^{G}

G-інваріантних функцій на X може не бути скінченнопородженим. Згідно теореми Габуша проте це кільце є скінченнопородженим якщо G є редуктивною групою; зокрема це справедливо для групи $G = G L_{n}$ , що було доведено Гільбертом.

Див. також

Література

Лінійна алгебрична група

Зміст

Історія

Означення

Приклади

Основні властивості

Алгебра Лі групи G

Основні типи груп і підгруп і класифікація

Тори і діагоналізовні групи

Розв'язні групи і підгрупи Бореля

Уніпотентні групи

Напівпроста і редуктивна групи

Класифікація лінійних алгебричних груп

Теорія для загальних полів

Застосування

Дія групи і геометрична теорія інваріантів

Див. також

Література

Навігаційне меню

Лінійна алгебрична група

Історія

Означення

Приклади

Основні властивості

Алгебра Лі групи G

Основні типи груп і підгруп і класифікація

Тори і діагоналізовні групи

Розв'язні групи і підгрупи Бореля

Уніпотентні групи

Напівпроста і редуктивна групи

Класифікація лінійних алгебричних груп

Теорія для загальних полів

Застосування

Дія групи і геометрична теорія інваріантів

Див. також

Література

Навігаційне меню

Пошук