Лінійне диференціальне рівняння

Шаблон:Диференціальні рівняння Лінійне диференціальне рівняння — звичайне диференціальне рівняння, в яке невідома функція та її похідні входять лінійно, тобто рівняння вигляду

y^{(n)} (x) + g_{(n - 1)} (x) y^{(n - 1)} (x) + \dots + g_{1} (x) y (x) = f (x)

де $g_{i} (x)$ та $f (x)$ — функції, що залежать тільки від аргументу x.

Важливий підклас лінійних диференційних рівнянь складають лінійні диференційні рівняння зі сталими коефіцієнтами, для яких $g_{i} (x) = c_{i}$ .

Рівняння

y^{(n)} (x) + g_{(n - 1)} (x) y^{(n - 1)} (x) + \dots + g_{1} (x) y (x) = 0

називається однорідним лінійним диференційним рівнянням.

Однорідне диференційне рівняння n-го порядку має n лінійно незалежних розв'язків.

Якщо відомий хоча б один частковий розв'язок лінійного диференційного рівняння, то його загальний розв'язок є сумою часткового розв'язку та лінійної комбінації n розв'язків однорідного диференційного рівняння.

Операторний запис

Лінійні диференціальні рівняння мають вигляд

L y = f

де диференціальний оператор L — лінійний оператор, у — невідома функція (наприклад, від часу $y (t)$ ), а функція праворуч — ƒ є даною функцією такого ж характеру, як у . Для такої функції ми можемо записати рівняння явно

L y (t) = f (t)

і, навіть точніше,

L [y (t)] = f (t)

Лінійний оператор можна розглядати у формі

L_{n} (y) \equiv \frac{d^{n} y}{d t^{n}} + A_{1} (t) \frac{d^{n - 1} y}{d t^{n - 1}} + \dots + A_{n - 1} (t) \frac{d y}{d t} + A_{n} (t) y

Лінійність умови на L виключає такі операції, як піднесення до квадрату похідної від у, але дозволяє, наприклад, брати другу похідну у. Зручно переписати це рівняння в операторній формі

L_{n} (y) \equiv [D^{n} + A_{1} (t) D^{n - 1} + \dots + A_{n - 1} (t) D + A_{n} (t)] y

де D є диференціальним оператором д / д (тобто Dy = у ', D ² у = у ", …), і _я — задані функції.

Таке рівняння має порядок п, індекс старшої похідної у, у рівнянні.

Типовим простим прикладом лінійного диференціального рівняння є, наприклад, те, що використовуються для моделювання радіоактивного розпаду. Нехай N (т) позначає число радіоактивних атомів в деякому зразку матеріалу у час t. Тоді для деякої сталої А> 0, кількість радіоактивних атомів, що розпадається, може бути записана як

\frac{d N}{d t} = - k N

Якщо у вважається функцією тільки однієї змінної, то говорять про звичайне диференціальне рівняння, в іншому разі похідні та їх коефіцієнти слід розуміти як вектори, матриці або тензори, тож одержимо (лінійне) рівняння в частинних похідних.

Випадок, коли ƒ = 0, називається однорідним рівнянням . Воно особливо важливе для розв'язання у загального випадку, оскільки його розв'язки можна додавати до розв'язку неоднорідного рівняння, щоб дістати інший розв'язок (методом часткового і однорідного розв'язків). Коли _я — це числа, рівняння, називається рівнянням зі сталими коефіцієнтами.

Однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами

Історично перший метод розв'язування звичайних лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами пов'язаний з іменем Ейлера, який зрозумів, що розв'язки мають вигляд e^{ $z$ x}, де $z$ ,- (в загальному випадку)-комплексні значення $z$ . Щоб сума кількох похідних функції дорівнювала нулю, похідні повинні врівноважувати одна одну, тож єдиний спосіб досягнути цього — похідні мусять мати ту ж форму, що й вихідна функція. Міркуючи так, для розв'язання

y^{(n)} + A_{1} y^{(n - 1)} + \dots + A_{n} y = 0

покладемо $y = e^{z x}$ , що дає

z^{n} e^{z x} + A_{1} z^{n - 1} e^{z x} + \dots + A_{n} e^{z x} = 0 .

Діленням на $e^{z x}$ многочлен n-го порядку

F (z) = z^{n} + A_{1} z^{n - 1} + \dots + A_{n} = 0 .

Це алгебраїчне рівняння $F (t) = 0$ , характеристичне рівняння, було розглянуто пізніше Ґаспаром Монжем і Оґюстеном-Луї Коші.

Формально, члени

y^{(k)} (k = 1, 2, \dots, n) .

вихідних диференціальних рівнянь замінюються на $z^{k}$ . Розв'язок алгебраїчного рівняння дає n значень $z_{1}, z_{2}, . . . z_{n}$ . Підстановка будь-якого з цих значень z в $z x$ дає розв'язок $e^{z x}$ Оскільки однорідні лінійні диференціальні рівняння підпорядковані принципу суперпозиції, будь-яка лінійна комбінація цих функцій також задовольняє дане диференціальне рівняння.

Коли всі корені різні, ми маємо n різних розв'язків диференціального рівняння. Застосовуючи визначник Вандермонда, можна показати, що вони лінійно незалежні і разом утворюють базис в просторі всіх розв'язків диференціального рівняння.

Вищесказане дає розв'язок в разі, коли всі корені різні, тобто кожен з них має кратність 1. У загальному випадку, якщо z (можливо, комплексний) нуль (=корінь) Р(x), що має кратність m, то $y = x^{k} e^{z x}$ є розв'язками ЛОР (де $k \in {0, 1, \dots, m - 1}$ ). Застосування цього до всіх коренів дає набір з n різних і лінійно незалежних функцій, де n-степінь F(x). Як і раніше, ці функції утворюють базис простору розв'язків.

Якщо коефіцієнти диференціального рівняння дійсні, то перевагу віддаємо дійснозначним розв'язкам. Оскільки комплексні (не дійсні) корені сполучені в пари спряжених, як і відповідні базисні функції, Шаблон:Nowrap, то бажаний результат одержимо заміною кожної пари дійсною лінійною комбінацією з $R e (y)$ і $I m (y)$ , де y — одна з функцій пари.

Випадки, що включають комплексні корені, можуть бути розглянуті за допомогою формули Ейлера.

Приклад

y^{⁗} - 2 y^{‴} + 2 y^{″} - 2 y^{'} + y = 0

має характеристичне рівняння

z^{4} - 2 z^{3} + 2 z^{2} - 2 z + 1 = 0 .

Його корені i, -i, й 1 (кратності 2). Базис розв'язків

e^{i x}, e^{- i x}, e^{x}, x e^{x} .

Відповідний дійснозначний базис

\cos x, \sin x, e^{x}, x e^{x} .

Приклади

Дано, $y^{″} - 4 y^{'} + 5 y = 0$ . Характеристичне рівняння $z^{2} - 4 z + 5 = 0$ має корені 2 + і і 2 — і. Таким чином, базис розв'язків ${y_{1}, y_{2}}$ є ${e^{(2 + i) x}, e^{(2 - i) x}}$ . Тепер у є розв'язком тоді і тільки тоді $y = c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2}$ для $c_{1}, c_{2} \in ℂ$ .

Оскільки коефіцієнти дійсні,

ми, ймовірно, не зацікавлені в комплексних розв'язках
наші базисні елементи взаємно спряжені

Лінійні комбінації

u_{1} = Re (y_{1}) = \frac{y_{1} + y_{2}}{2} = e^{2 x} \cos (x)

і

u_{2} = Im (y_{1}) = \frac{y_{1} - y_{2}}{2 i} = e^{2 x} \sin (x)

дають нам дійсний базис ${u_{1}, u_{2}}$ .

Простий гармонічний осцилятор

схематичне подання простого гармонічного осцилятора

Диференціальне рівняння другого порядку

D^{2} y = - k^{2} y,

що описує простий гармонічний осцилятор, можна переформулювати

(D^{2} + k^{2}) y = 0 .

Вираз в дужках може бути факторизований, що дає

(D + i k) (D - i k) y = 0,

це рівняння має пару лінійно незалежних розв'язків, один для

(D - i k) y = 0

інший для

(D + i k) y = 0 .

Розв'язки, відповідно,

y_{0} = A_{0} e^{i k x}

та

y_{1} = A_{1} e^{- i k x} .

Ці розв'язки є базисом двовимірного «простору розв'язків» диференціального рівняння другого порядку. Крім того, для

y_{0^{'}} = \frac{A_{0} e^{i k x} + A_{1} e^{- i k x}}{2} = C_{0} \cos (k x)

та

y_{1^{'}} = \frac{A_{0} e^{i k x} - A_{1} e^{- i k x}}{2 i} = C_{1} \sin (k x) .

-останні тригонометричні розв'язки лінійно незалежні, а тому можуть слугувати іншим базисом простору розв'язків, що дає таку загальну форму розв'язку:

y_{H} = C_{0} \cos (k x) + C_{1} \sin (k x) .

Затухаючий гармонічний осцилятор

схематичне подання гармонічного осцилятора із затуханням

Враховуючи рівняння затухаючого гармонічного осцилятора:

(D^{2} + \frac{b}{m} D + ω_{0}^{2}) y = 0,

отримаємо спочатку характеристичне рівняння формальною заміною D на λ. Це рівняння має виконуватися для всіх у, наступним чином:

λ^{2} + \frac{b}{m} λ + ω_{0}^{2} = 0 .

Розв'яжемо:

λ = \frac{- b / m \pm \sqrt{b^{2} / m^{2} - 4 ω_{0}^{2}}}{2} .

Використаємо ці дані для розкладу вихідного диференціального рівняння:

(D + \frac{b}{2 m} - \sqrt{\frac{b^{2}}{4 m^{2}} - ω_{0}^{2}}) (D + \frac{b}{2 m} + \sqrt{\frac{b^{2}}{4 m^{2}} - ω_{0}^{2}}) y = 0 .

Це визначає пару рішень, з яких одне відповідає

(D + \frac{b}{2 m} - \sqrt{\frac{b^{2}}{4 m^{2}} - ω_{0}^{2}}) y = 0

а інше

(D + \frac{b}{2 m} + \sqrt{\frac{b^{2}}{4 m^{2}} - ω_{0}^{2}}) y = 0

Розв'язки, відповідно,

y_{0} = A_{0} e^{- ω x + \sqrt{ω^{2} - ω_{0}^{2}} x} = A_{0} e^{- ω x} e^{\sqrt{ω^{2} - ω_{0}^{2}} x}

та

y_{1} = A_{1} e^{- ω x - \sqrt{ω^{2} - ω_{0}^{2}} x} = A_{1} e^{- ω x} e^{- \sqrt{ω^{2} - ω_{0}^{2}} x}

де ω = B / 2 . З цієї пари лінійно незалежних рішень можна побудувати іншу лінійно незалежну пару, що таким чином, слугуватиме базисом для двовимірного простору рішень:

y_{H} (A_{0}, A_{1}) (x) = (A_{0} \sinh \sqrt{ω^{2} - ω_{0}^{2}} x + A_{1} \cosh \sqrt{ω^{2} - ω_{0}^{2}} x) e^{- ω x} .

Однак, якщо | ω | <| ω ₀ |, то бажано позбутися уявних частин, виражаючи загальний розв'язок як

y_{H} (A_{0}, A_{1}) (x) = (A_{0} \sin \sqrt{ω_{0}^{2} - ω^{2}} x + A_{1} \cos \sqrt{ω_{0}^{2} - ω^{2}} x) e^{- ω x} .

Останній розв'язок відповідає слабко затухаючому випадку, тоді як попередній відповідає сильно затухаючому разі: розв'язок для слабко загальмованого випадку коливатиметься, а для розв'язку сильно загальмованого випадку це не так.

Неоднорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами

Щоб отримати розв'язок неоднорідного рівняння , слід знайти частковий розв'язок неоднорідного рівняння або методом невизначених коефіцієнтів, або методом варіації сталих; загальний розв'язок лінійного диференціального рівняння є сумою загального розв'язку відповідного однорідного рівняння і часткового інтеграла. Якщо ж задані початкові умови, можна застосувати перетворення Лапласа для отримання конкретного розв'язку безпосередньо.

Припустимо, нам дано

\frac{d^{n} y (x)}{d x^{n}} + A_{1} \frac{d^{n - 1} y (x)}{d x^{n - 1}} + \dots + A_{n} y (x) = f (x) .

Для подальших обчислень, виділимо характеристичний многочлен

P (v) = v^{n} + A_{1} v^{n - 1} + \dots + A_{n} .

Ми знайдемо базис розв'язків ${y_{1} (x), y_{2} (x), \dots, y_{n} (x)}$ як і в однорідному (F (X) = 0) випадку. Частковий розв'язок у _р (х) одержимо методом варіації сталих. Нехай коефіцієнти лінійної комбінації є функціями від х:

y_{p} (x) = u_{1} (x) y_{1} (x) + u_{2} (x) y_{2} (x) + \dots + u_{n} (x) y_{n} (x) .

Для зручності позначень будемо опускати залежність від х (тобто, частини звичного запису вигляду (х)). Використовуючи операторний запис $D = d / d x$ і вільно використовуючи позначення, дане рівняння набуде вигляду $P (D) y = f$ , тож

f = P (D) y_{p} = P (D) (u_{1} y_{1}) + P (D) (u_{2} y_{2}) + \dots + P (D) (u_{n} y_{n}) .

З обмеженнями

0 = u'_{1} y_{1} + u'_{2} y_{2} + \dots + u'_{n} y_{n}

0 = u'_{1} y'_{1} + u'_{2} y'_{2} + \dots + u'_{n} y'_{n}

\dots

0 = u'_{1} y_{1}^{(n - 2)} + u'_{2} y_{2}^{(n - 2)} + \dots + u'_{n} y_{n}^{(n - 2)}

параметри виносяться, після чого залишається дещо «зайве»:

f = u_{1} P (D) y_{1} + u_{2} P (D) y_{2} + \dots + u_{n} P (D) y_{n} + u'_{1} y_{1}^{(n - 1)} + u'_{2} y_{2}^{(n - 1)} + \dots + u'_{n} y_{n}^{(n - 1)} .

Але $P (D) y_{j} = 0$ , тому

f = u'_{1} y_{1}^{(n - 1)} + u'_{2} y_{2}^{(n - 1)} + \dots + u'_{n} y_{n}^{(n - 1)} .

Це, з обмеженнями, дає лінійну система за $u'_{j}$ . ЇЇ, насправді, завжди можна розв'язати поєднуючи методи Крамера і Вронського,

u'_{j} = (- 1)^{n + j} \frac{W (y_{1}, \dots, y_{j - 1}, y_{j + 1} \dots, y_{n})_{(\binom{0}{f})}}{W (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n})} .

Решта зводиться до інтегрування $u'_{j} .$

частковий розв'язок не є єдиним, $y_{p} + c_{1} y_{1} + \dots + c_{n} y_{n}$ також задовольняє рівняння для будь-якого набору констант з основного поля.

Приклад

Покладемо, $y^{″} - 4 y^{'} + 5 y = s i n (k x)$ . Ми візьмемо базис розв'язку, знайдений вище ${e^{(2 + i) x}, e^{(2 - i) x}}$ .

$W$	$= \| \begin{matrix} e^{(2 + i) x} & e^{(2 - i) x} \\ (2 + i) e^{(2 + i) x} & (2 - i) e^{(2 - i) x} \end{matrix} \|$
	$= e^{4 x} \| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 + i & 2 - i \end{matrix} \|$
	$= - 2 i e^{4 x}$

$u'_{1}$	$= \frac{1}{W} \| \begin{matrix} 0 & e^{(2 - i) x} \\ \sin (k x) & (2 - i) e^{(2 - i) x} \end{matrix} \|$
	$= - \frac{i}{2} \sin (k x) e^{(- 2 - i) x}$

$u'_{2}$	$= \frac{1}{W} \| \begin{matrix} e^{(2 + i) x} & 0 \\ (2 + i) e^{(2 + i) x} & \sin (k x) \end{matrix} \|$
	$= \frac{i}{2} \sin (k x) e^{(- 2 + i) x} .$

Використовуючи список інтегралів від експоненціальних функцій,

$u_{1}$	$= - \frac{i}{2} \int \sin (k x) e^{(- 2 - i) x} d x$
	$= \frac{i e^{(- 2 - i) x}}{2 (3 + 4 i + k^{2})} ((2 + i) \sin (k x) + k \cos (k x))$

$u_{2}$	$= \frac{i}{2} \int \sin (k x) e^{(- 2 + i) x} d x$
	$= \frac{i e^{(i - 2) x}}{2 (3 - 4 i + k^{2})} ((i - 2) \sin (k x) - k \cos (k x)) .$

І тому

$y_{p}$	$= \frac{i}{2 (3 + 4 i + k^{2})} ((2 + i) \sin (k x) + k \cos (k x)) + \frac{i}{2 (3 - 4 i + k^{2})} ((i - 2) \sin (k x) - k \cos (k x))$
	$= \frac{(5 - k^{2}) \sin (k x) + 4 k \cos (k x)}{(3 + k^{2})^{2} + 16} .$

Задля інтересу зазначимо, це рівняння має фізичний зміст, описує вимушений гармонічний осцилятор, з тертям; у _р представляє стійкий стан, а $c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2}$ є перехідним станом.

Рівняння зі змінними коефіцієнтами

Лінійне диференціальне рівняння порядку n зі змінними коефіцієнтами має загальний вигляд

p_{n} (x) y^{(n)} (x) + p_{n - 1} (x) y^{(n - 1)} (x) + \dots + p_{0} (x) y (x) = r (x) .

Приклади

Простим прикладом є рівняння Коші-Ейлера, що часто використовуються в машинобудуванні

x^{n} y^{(n)} (x) + a_{n - 1} x^{n - 1} y^{(n - 1)} (x) + \dots + a_{0} y (x) = 0 .

Рівняння першого порядку

Лінійне диференціальне рівняння 1-го порядку зі змінними коефіцієнтами має загальний вигляд

D y (x) + f (x) y (x) = g (x) .

Тут D — диференціальний оператор. Рівняння такого виду може бути розв'язане множенням на інтегрувальний множник

e^{\int f (x) d x}

,

що дає

D y (x) e^{\int f (x) d x} + f (x) y (x) e^{\int f (x) d x} = g (x) e^{\int f (x) d x},

спрощуючи за правилом добутку, дістанемо

D (y (x) e^{\int f (x) d x}) = g (x) e^{\int f (x) d x}

Звідси інтегруванням

y (x) e^{\int f (x) d x} = \int g (x) e^{\int f (x) d x} d x + c,

y (x) = \frac{\int g (x) e^{\int f (x) d x} d x + c}{e^{\int f (x) d x}} .

Отже, розв'язком лінійного диференціального рівняння першого порядку

y^{'} (x) + f (x) y (x) = g (x),

з коефіцієнтами, які можуть залежати від х, є:

y = e^{- a (x)} (\int g (x) e^{a (x)} d x + κ)

Зазначимо, що $κ$ — стала інтегрування, і

a (x) = \int f (x) d x .

Компактна форма загального розв'язку

y (x) = \int_{a}^{x} [y (a) δ (t - a) + g (t)] e^{- \int_{t}^{x} f (u) d u} d t .

$δ (x)$ — узагальнена дельта-функція Дірака.

Приклади

Розглянемо диференціальне рівняння першого порядку із сталими коефіцієнтами:

\frac{d y}{d x} + b y = 1 .

Це рівняння має особливе значення для систем першого порядку на кшталт RC-схем (ємність-опір) і систем маса-демпфер.

В цьому випадку f(х) = b, g(х) = 1.

Тож розв'язком є

y (x) = e^{- b x} (e^{b x} / b + C) = 1 / b + C e^{- b x} .

Див. також

Посилання

Шаблон:Клепко ВМ
[1] напівлінійних диференціальних рівнянь (в диспергуючих PDE Wiki)
[2] квазілінійного диференціального рівняння (в диспергуючих PDE Wiki)
[3] повністю нелінійних диференціальних рівнянь (в диспергуючих PDE Wiki)
http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode.htm Шаблон:Webarchive

Примітки

Шаблон:Reflist

Література

Шаблон:Cite journal

Лінійне диференціальне рівняння

Зміст

Операторний запис

Однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами

Приклади

Простий гармонічний осцилятор

Затухаючий гармонічний осцилятор

Неоднорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами

Приклад

Рівняння зі змінними коефіцієнтами

Приклади

Рівняння першого порядку

Приклади

Див. також

Посилання

Примітки

Література

Навігаційне меню

Лінійне диференціальне рівняння

Операторний запис

Однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами

Приклади

Простий гармонічний осцилятор

Затухаючий гармонічний осцилятор

Неоднорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами

Приклад

Рівняння зі змінними коефіцієнтами

Приклади

Рівняння першого порядку

Приклади

Див. також

Посилання

Примітки

Література

Навігаційне меню

Пошук