Перетворення Фур'є

Шаблон:UniboxПеретворення Фур'є — інтегральне перетворення однієї комплекснозначної функції дійсної змінної на іншу. Тісно пов'язане з перетворенням Лапласа та аналогічне розкладу у ряд Фур'є для неперіодичних функцій. Це перетворення розкладає дану функцію на осциляторні функції. Використовується для того, щоб розрахувати спектр частот для сигналів змінних у часі (як-от мова або електрична напруга). Перетворення названо на честь французького математика Жана Батиста Жозефа Фур'є, який ввів поняття в 1822 році.

Визначення

Перетворення Фур'є функції $f(t)$ математично визначається як комплекснозначна функція $F(\omega )$, яка задається інтеграломШаблон:Ref

$F(\omega )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-i\omega t}dt$

Обернене перетворення Фур'є задається виразом

$\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}F(\omega )e^{i\omega t}d\omega =f(t)$

Вступ

У перших кадрах анімації, функція Шаблон:Mvar розкладена у ряд Фур'є: лінійну комбінацію синусів і косинусів (синім). Частотні компоненти цих синусів і косинусів розподілені у частотному спектрі представлені як вертикальні піки у частотній області (фактично це Дельта-функції Дірака, що показані в останніх кадрах анімації). Представлення функції у частотній області Шаблон:Math є множиною цих піків із частотами, що показані в розмірності функції.

Перетворення Фур'є бере початок із вивчення рядів Фур'є. При вивченні рядів Фур'є складні, але періодичні функції записуються у формі суми простих хвиль, що математично задаються функціями синусів і косинусів. Перетворення Фур'є є продовженням рядів Фур'є для випадку коли період представленої функції подовжений і може наближатися до нескінченності.

Завдяки властивостям синуса і косинуса, за допомогою інтегралу можна отримати амплітуду кожної хвилі ряду Фур'є. У багатьох випадках бажано використовувати формулу Ейлера, яка визначає, що Шаблон:Math, із чого випливає, що можна задати ряд Фур'є через елементи базових хвиль Шаблон:Math. Це дає змогу спростити вираз при розрахунку багатьох формул.

Представлення синусів і косинусів у вигляді комплексних експонент приводить до того, що коефіцієнти Фур'є є комплексними значеннями. Зазвичай це комплексне представлення числа інтерпретують так, що воно описує значення як амплітуду (або розмір) хвилі, що є складовою заданої функції, і фазу (або початковий кут) хвилі. Ці комплексні експоненти іноді містять від'ємні «частоти». Якщо Шаблон:Mvar вимірюється в секундах, тоді хвилі Шаблон:Math і Шаблон:Math обидві мають один повний цикл довжиною в секунду, але вони задають різні частоти в перетворенні Фур'є. Таким чином, частота більше не задає кількість періодів на одиницю часу, але досі є тісно пов'язаною.

Існує тісний зв'язок між визначенням рядів Фур'є і перетворення Фур'є для функцій Шаблон:Mvar, що приймають нульове значення за межами інтервалу. Для таких функцій, ми можемо розрахувати ряд Фур'є на будь-якому інтервалі, що містить точки де Шаблон:Mvar не є нульовою. Перетворення Фур'є також визначене для таких функцій. Зі збільшенням довжини інтервалу, на якому ми розраховуємо ряд Фур'є, коефіцієнти ряду Фур'є починають бути схожими на перетворення Фур'є, а сума ряду Фур'є для Шаблон:Mvar починає бути схожою на обернене перетворення Фур'є. Аби пояснити це, припустимо, що Шаблон:Mvar є достатньо великим, таким, що інтервал Шаблон:Math містить інтервал, у якому Шаблон:Mvar не є тотожно нульовою. Тоді Шаблон:Mvar-й коефіцієнт ряду Шаблон:Mvar задається як:

$c_n=\frac{1}{T}\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{\frac{T}{2}}{\int }}f(x)e^{-2\pi i\left(\frac{n}{T}\right)x}dx.$

Порівнявши це із визначенням перетворення Фур'є, отримаємо що

$c_n=\frac{1}{T}\hat{f}\left(\frac{n}{T}\right)$

оскільки Шаблон:Math є нульовою за межами Шаблон:Math. Таким чином, коефіцієнти Фур'є є лише значеннями перетворення Фур'є, що задані для сітки шириною в Шаблон:Math, помножені на ширину сітки Шаблон:Math.

При певних умовах, ряд Фур'є для Шаблон:Mvar буде дорівнювати функції Шаблон:Mvar. Іншими словами, Шаблон:Mvar можна записати як:

$f(x)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{e}^{2\pi i\left(\frac{n}{T}\right)x}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\hat{f}({\xi }_n)e^{2\pi i{\xi }_{n}x}\mathrm{\Delta }\xi ,$

де остання сума, є першою сумою, яку переписано використовуючи визначення Шаблон:Math, і Шаблон:Math.

Таким чином, друга сума є сумою Рімана, і тому задавши Шаблон:Math вона збігатиметься до інтеграла, який відповідає оберненому перетворенню Фур'є заданого в розділі визначення. При певних умовах цей аргумент може бути точним.

При вивченні рядів Фур'є числа Шаблон:Mvar можна розглядати як «кількість» присутності хвилі у ряді Фур'є для Шаблон:Mvar. Аналогічно, як видно з описаного вище, перетворення Фур'є можна уявити як функцію, що вимірює, наскільки чітко окрема частота присутня в нашій функції Шаблон:Mvar, і можна поєднати ці хвилі за допомогою інтегралу (або «неперервної суми») аби відтворити оригінальну функцію.

Властивості

Якщо задані інтегровні функції $f(t)$, $g(t)$ та $h(t)$ та їхні відповідні перетворення Фур'є $\hat{f}(\omega )$, $\hat{g}(\omega )$ та $\hat{h}(\omega )$, тоді самому перетворенню властиво наступне:

Лінійність

Для довільних комплексних чисел $a$ та $b$, якщо $h(t)=af(t)+bg(t)$, тоді   $\hat{h}(\omega )=a\cdot \hat{f}(\omega )+b\cdot \hat{g}(\omega ).$

Трансляція

Для довільного дійсного числа $t_0$, якщо $h(t)=f(t-t0)$, тоді  $\hat{h}(\omega )=e^{-i\omega t_0}\hat{f}(\omega ).$

Модуляція

Для довільного дійсного числа ${\omega }_0$, якщо $h(t)=e^{{\omega }_{0}t}f(t)$, тоді  $\hat{h}(\omega )=\hat{f}(\omega -{\omega }_0)$.

Масштабування

Для не рівного нулю дійсного числа a, якщо $h(x)=f(ax)$, тоді  $\hat{h}(\xi )=\frac{1}{|a|}\hat{f}\left(\frac{\xi }{a}\right)$.     Випадок a = −1 призводить до властивості «обернення часу», згідно з якою: якщо $h(x)=f(-x)$, тоді  $\hat{h}(\xi )=\hat{f}(-\xi )$.

Спряження

Якщо $h(x)=\overline{f(x)}$, тоді  $\hat{h}(\xi )=\overline{\hat{f}(-\xi )}.$

Зокрема, якщо ƒ дійсне, тоді має місце «умова дійсності»   $\hat{f}(-\xi )=\overline{\hat{f}(\xi )}.$

Згортка

Якщо $h(x)=(f*g)(x)$, тоді  $\hat{h}(\xi )=\hat{f}(\xi )\cdot \hat{g}(\xi ).$

Перетворення Фур'є узагальнених функцій

Перетворення Фур'є можна визначити для широкого класу узагальнених функцій. Як основний простір вибирають простір гладких швидкоспадних функцій (простір Шварца):

$S(ℝ):=\{\phi \in C^{\mathrm{\infty }}(ℝ):\mathrm{\forall }n,m\in \mathbb{N}{x}^n{\phi }^{(m)}(x)\stackrel{x\to \mathrm{\infty }}{\to }0\}.$

Цей простір є інваріантним відносно перетворення Фур'є.

Позначимо через $S^{*}(ℝ)$ спряжений простір до $S(ℝ)$. Цей підпростір простору всіх узагальнених функцій називається простором узагальнених функцій повільного зростання. Для довільної функції $f\in S^{*}(ℝ)$ її перетворенням Фур'є називається узагальнена функція $\hat{f}\in S^{*}(ℝ)$, яка діє на основні функції за правилом

$⟨\hat{f},\phi ⟩=⟨f,\hat{\phi }⟩.$

Наприклад, обчислимо перетворення Фур'є дельта-функції:

$⟨\hat{\delta },\phi ⟩=⟨\delta ,\hat{\phi }⟩=⟨\delta (\omega ),\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\phi (x)e^{-i\omega x}dx⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\phi (x)\cdot e^{-i\cdot 0\cdot x}dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\phi (x)\cdot 1dx=⟨1,\phi ⟩.$

Таким чином, перетворенням Фур'є дельта-функції є константа, у цьому випадку $1$.

Перетворення Фур'є функцій багатьох змінних

Перетворення Фур'є може бути означене для довільної кількості змінних (вимірів) $n$:

$\hat{f}(\mathit{\xi })=ℱ(f)(\mathit{\xi })=\underset{{ℝ}^n}{\int }f(𝐱)e^{-i(𝐱,\mathit{\xi })}d𝐱$

де $x$ and $\mathit{\xi }$ — $n$-вимірні вектори, а $(𝐱,\mathit{\xi })$ позначає скалярний добуток цих векторів.

Використання

Перетворення Фур'є застосовуються для отримання частотного спектра неперіодичної функції, наприклад, електричного сигналу, тобто для представлення сигналу у вигляді суми гармонічних коливань. При цьому використовується властивість згортки.

На практиці, це можна побачити у використанні системами розподіленого обчислення для пошуку можливих сигналів позаземних цивілізацій (проекти SETI і, відповідно, SETI@home).

Нехай відгук системи на збурення у вигляді сигналу $f(t)$ має вигляд

$g(t)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\alpha (\tau )f(t-\tau )d\tau$,

де $\alpha (\tau )$ — певна функція. Такий запис означає, що відгук системи залежить не тільки від моментального значення збурення, а також від того збурення, яке було певний час тому, і яке змінило стан системи.

Застосовуючи перетворення Фур'є до обох частин рівняння, отримуємо

$G(\omega )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-i\omega t}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\alpha (\tau )f(t-\tau )d\tau dt=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-i\omega t}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\alpha (\tau )\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}F({\omega }^{\prime })e^{i{\omega }^{\prime }(t-\tau )}d{\omega }^{\prime }d\tau dt$

Оскільки

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{i({\omega }^{\prime }-\omega )t}dt=2\pi \delta ({\omega }^{\prime }-\omega )$,

де $\delta (x)$ — дельта-функція Дірака, інтегрування дає

$G(\omega )=\mathrm{A}(\omega )F(\omega )$,

де

$\mathrm{A}(\omega )=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\alpha (\tau )e^{i\omega \tau }$.

Важливим висновком із цього перетворення є те, що вихідний спектр отримується з вхідного простим множенням на функцію відклику системи $\mathrm{A}(\omega )$.

Таблиця образів деяких функцій

У наступній таблиці $F(\omega )$ и $G(\omega )$ позначають перетворення Фур'є функцій $f(t)$ і $g(t)$, відповідно. Функцій $f$ і $g$ повинні бути інтегровними або узагальненими функціями.

Як множник при інтегралі у формулі для прямого та зворотного перетворення Фур'є тут вибрано $1/\sqrt{2\pi }$.

	Функція	Образ	Примітки
1	$af(t)+bg(t)$	$aF(\omega )+bG(\omega )$	Лінійність
2	$f(t-a)$	$e^{-i\omega a}F(\omega )$	Запізнення
3	$e^{iat}f(t)$	$F(\omega -a)$	Частотний зсув
4	$f(at)$	$|a{|}^{-1}F\left(\frac{\omega }{a}\right)$
5	$\frac{d^{n}f(t)}{d{t}^n}$	$(i\omega {)}^{n}F(\omega )$	Перетворення Фур'є похідної
6	$t^{n}f(t)$	$i^n\frac{d^{n}F(\omega )}{d{\omega }^n}$
7	$(f*g)(t)$	$\sqrt{2\pi }F(\omega )G(\omega )$	Перетворення згортки
8	$f(t)g(t)$	$\frac{(F*G)(\omega )}{\sqrt{2\pi }}$	Зворотнє до 7
9	$\delta (t)$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$	Перетворення дельта-функції Дірака
10	$1$	$\sqrt{2\pi }\delta (\omega )$	Зворотнє до 9
11	$t^n$	$i^n\sqrt{2\pi }{\delta }^{(n)}(\omega )$	Для $n$-ї узагальненої похідної дельта-функції
12	$e^{iat}$	$\sqrt{2\pi }\delta (\omega -a)$	Наслідок з 3 і 10
13	$\cos (at)$	$\sqrt{2\pi }\frac{\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}$
14	$\sin (at)$	$\sqrt{2\pi }\frac{\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)}{2i}$
15	$\exp (-a{t}^2)$	$\frac{1}{\sqrt{2a}}\exp \left(\frac{-{\omega }^2}{4a}\right)$	Образ функції Гауса $\exp (-t^2/2)$ збігається з оригіналом (функція належить до простору Шварца)
16	$W\sqrt{\frac{2}{\pi }}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(Wt)$	$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\left(\frac{\omega }{2W}\right)$	фільтр низьких частот, прямокутна функція
17	$\frac{1}{t}$	$-i\sqrt{\frac{\pi }{2}}\mathrm{sgn}(\omega )$	Тут $\mathrm{sgn}(\omega )$ — функція знаку.
18	$\frac{1}{t^n}$	$-i\sqrt{\frac{\pi }{2}}\frac{(-i\omega {)}^{n-1}}{(n-1)!}\mathrm{sgn}(\omega )$
19	$\mathrm{sgn}(t)$	$\sqrt{\frac{2}{\pi }}(i\omega {)}^{-1}$
20	$\sqrt{2\pi }\theta (t)$	$\frac{1}{i\omega }+\pi \delta (\omega )$	Тут $\theta (t)$ — Функція Гевісайда.

Див. також

• Ряд Фур'є
• Змінні Фур'є
• Перетворення Лапласа
• Двостороннє перетворення Лапласа
• Швидке перетворення Фур'є
• Дискретне перетворення Фур'є
• Список об'єктів, названих на честь Жозефа Фур'є
• Спряжені змінні

Примітки

Шаблон:Note 1. Існують також інші конвенції щодо означення перетворення Фур'є, в яких замість циклічної частоти $\omega$ використовують лінійну частоту $\nu$, розподіляють множник $1/2\pi$ порівно між прямим та оберненим перетворенням тощо. Усі конвенції до певної міри еквіваленті, якщо їх застосовувати послідовно.

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2
• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч2
• Шаблон:Банах.Диференціальне та інтегральне числення
• Перетворення Фур'є, Лапласа: узагальнення та застосування: навч.-метод. посіб. [для студентів та аспірантів мех.-мат. і природн. спец. ВНЗ] / Г. П. Лопушанська, А. О. Лопушанський, О. М. М'яус ; М-во освіти і науки України, Львів. нац. ун-т ім. І. Франка. — Львів: ЛНУ, 2014. — 152 с. — Бібліогр.: с. 147—152 (90 назв).
• Bochner S., Chandrasekharan K. (1949), Fourier Transforms, Princeton University Press
• Bracewell, R. N. (2000), The Fourier Transform and Its Applications (3rd ed.), Boston: McGraw-Hill.
• Функції комплексної змінної. Перетворення Фур'є та Лапласа : Навч. посіб. для студ. техн. спец. вищ. закл. освіти / Я. І. Дасюк, В. С. Ільків, П. І. Каленюк, П. П. Костробій, З. М. Нитребич; Ін-т змісту і методів навчання. — Л., 1999. — 271 c. — (Математика для інженерів). — Бібліогр.: 20 назв.

Посилання

• FFT in Python
• Fourier Series Applet
• An Interactive Guide To The Fourier Transform | BetterExplained Шаблон:Ref-en