Синус

Шаблон:Тригонометрія Шаблон:Otheruses Синус (Шаблон:Lang-la — «пазуха») — тригонометрична функція кута. Визначення синусу гострого кута в контексті прямокутного трикутника: для заданого кута, є відношенням довжини катета, що є протилежним даному куту, до довжини найдовшої сторони трикутника (гіпотенузи).

У загальнішому випадку, визначення синуса (та інших тригонометричних функцій) може бути розширене до значення дійсного числа, що належить до довжини певного відрізка в одиничному колі. Більш складні сучасні визначення задають синус як нескінченний ряд або як розв'язок деяких диференційних рівнянь, що дозволяє їх розширення до довільних додатних і від'ємних значень і навіть до комплексних чисел.

Функція синуса зазвичай застосовується в моделюванні періодичних явищ, таких як звукові і світлові хвилі, позиції і швидкості гармонічних коливань, інтенсивності сонячного світла і довжини для, коливань середньої температури в період року.

Функція синус має зв'язок у своєму походженні до функцій джа і коті-джа, що використовувалися в період Гупта в Індійській астрономії (Ар'ябхатія, Сур'я Сіддханта), шляхом перекладу із санскриту на арабську мову, а потім з арабської на латинь. Слово «синус» походить від неправильного перекладу на латину арабського джиба, яке є транслітерацією слова на санскриті, що означало половину хорди, джа-ардха. Таблиця синусів містить числові значення функції синусу.

Визначення в контексті прямокутного трикутника

Для кута α, функція синусу задає відношення довжини протилежного до кута катету до довжини гіпотенузи, $\sin \alpha =\frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$

При визначенні тригонометричних функцій для гострого кута α, беруть будь-який прямокутний трикутник який містить кут α; на відповідному малюнку, це геометричний кут A в трикутнику ABC, який має значення α. Три сторони трикутника мають назви:

• протилежний катет це сторона протилежна обраному куту, в даному випадку це сторона a.
• гіпотенуза це сторона протилежна прямому куту, в даному випадку це сторона h. Гіпотенуза завжди є найдовшою стороною прямокутного трикутника.
• прилеглий катет- сторона що залишилась, в даному випадку це сторона b. Це сторона, яка одночасно прилягає до вибраного кута (кут A) і до прямого кута трикутника.

У визначеному трикутнику, синус кута дорівнює довжині протилежного катету поділеному на довжину гіпотенузи (інші тригонометричні функції можуть визначатися аналогічним способом; наприклад, косинус кута є відношенням довжин прилеглого катету до гіпотенузи).

Як уже зазначалося, значення функції Шаблон:Math залежить від вибраного прямокутного трикутника, який містить в собі кут величиною α. Однак, це не є важливим: оскільки всі такі трикутники є подібними, і співвідношення сторін буде однакове в усіх таких трикутниках.

В контексті одиничного кола

Ілюстрація одиничного кола. Радіус якого дорівнює 1. Змінна t задає значення Кута.

В тригонометрії, одиничне коло це коло з радіусом один і з центром в початку координат (0, 0) декартової системи координат.

Нехай існує довільна пряма через початок координат, яка утворює кут θ із додатною частиною осі x, і перетинає одиничне коло. x- і y-є координатами точки перетину прямої і кола, які дорівнюють cos θ і Шаблон:Math, відповідно. Відстань від точки до початку координат завжди дорівнює 1.

На відміну від визначення в контексті прямокутного трикутника або кута нахилу, використовуючи одиничне коло значення кута можуть бути розширені до повного набору дійсних аргументів. В такому випадку функція синуса є періодичною.

Одиничне коло є в основі принципу побудови координатного транспортиру. При безперервному обертанні кута навколо своєї осі на 360 градусів можна бачити як координата транспортира зміщується по осі Y від -1 до 1. На осі Y в одиничному колі розміщені значення функції синуса.

Анімація показує як функція синусу (червона) $y=\sin (\theta )$ із значень y-координати (червона точка), що змінюється при окреслені точкою одиничного кола (зелена), і значення кута θ задаються радіанах.

Тотожності

Точні тотожності (застосовуються до радіан): Застосовуються до всіх значень кута $\theta$.

$\sin (\theta )=\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )=\frac{1}{\csc (\theta )}$

Обернені

оберненим числом для синусу є косеканс, тобто обернене число для Шаблон:Math записується як Шаблон:Math, або cosec(A). Косеканс задає відношення довжини гіпотенузу до довжини протилежного катету:

$\csc (A)=\frac{1}{\sin (A)}=\frac{\text{hypotenuse}}{\text{opposite}}=\frac{h}{a}.$

Зворотні функції

Головні значення функції Шаблон:Math зображені на декартовій площині. Arcsin є зворотньою функцією від синусу.

Зворотньою функцією для синусу є арксинус (позначається як arcsin або asin) або обернений синус (Шаблон:Math). Оскільки синус не має ін'єктивного відображення, арксинус не є точною зворотньою функцією, а є частковою зворотньою функцією. Наприклад, Шаблон:Math, але також і Шаблон:Math, Шаблон:Math і так далі. Звідси випливає, що функція арксинус багатозначна: Шаблон:Math, але також і Шаблон:Math, Шаблон:Math, і т. д.. Коли необхідно мати одне визначене значення, функція може бути обмежена до її головної області значень. Виходячи з цього обмеження, для кожного значення x в усій області значень, вираз Шаблон:Math прийматиме лише одне значення, яке називається його головним значенням.

$\theta =\arcsin \left(\frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}\right)={\sin }^{-1}\left(\frac{a}{h}\right).$

k є деяким цілим значенням:

$\begin{array}{cc}\sin (y)=x\iff & y=\arcsin x+2\pi k,\text{ or }\\ & y=\pi -\arcsin (x)+2\pi k\end{array}$

або у вигляді одного рівняння:

$\sin (y)=x\iff y=(-1{)}^k\arcsin (x)+\pi k$

Arcsin задовольняє рівнянням:

$\sin (\arcsin (x))=x$

і

$\arcsin (\sin (\theta ))=\theta \text{for }-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}.$

Обчислення

Для функції синус:

$f(x)=\sin (x)$

Похідною є:

$f^{\prime }(x)=\cos (x)$

Первісною функції є:

$\int f(x)dx=-\cos x+C$,

де C позначає сталу інтегрування.

Зв'язок із іншими тригонометричними функціями

Функції синусу і косинусу можуть бути зв'язані між собою різними виразами. Ці дві функції відрізняються фазою в 90°: $\sin (\pi /2-x)$ = $\cos (x)$ для всіх кутів x. А також, похідною функції Шаблон:Math є Шаблон:Math.

Будь-яку тригонометричну функцію можна виразити через інші тригонометричні функції (з урахуванням знаків плюс та мінус у різних чвертях або за допомогою знакової функції (sgn)).

Через інші тригонометричні функції синус можна виразити наступним чином:

	f θ	З використанням плюса/мінуса (±)					З використанням функції (sgn)
		f θ =	± по чвертям				f θ =
			I	II	III	IV
cos	$\sin (\theta )$	$=\pm \sqrt{1-{\cos }^2(\theta )}$	+	+	−	−	$=\mathrm{sgn}(\cos (\theta -\frac{\pi }{2}))\sqrt{1-{\cos }^2(\theta )}$
	$\cos (\theta )$	$=\pm \sqrt{1-{\sin }^2(\theta )}$	+	−	−	+	$=\mathrm{sgn}(\sin (\theta +\frac{\pi }{2}))\sqrt{1-{\sin }^2(\theta )}$
cot	$\sin (\theta )$	$=\pm \frac{1}{\sqrt{1+{\cot }^2(\theta )}}$	+	+	−	−	$=\mathrm{sgn}(\cot \left(\frac{\theta }{2}\right))\frac{1}{\sqrt{1+{\cot }^2(\theta )}}$
	$\cot (\theta )$	$=\pm \frac{\sqrt{1-{\sin }^2(\theta )}}{\sin (\theta )}$	+	−	−	+	$=\mathrm{sgn}(\sin (\theta +\frac{\pi }{2}))\frac{\sqrt{1-{\sin }^2(\theta )}}{\sin (\theta )}$
tan	$\sin (\theta )$	$=\pm \frac{\tan (\theta )}{\sqrt{1+{\tan }^2(\theta )}}$	+	−	−	+	$=\mathrm{sgn}(\tan \left(\frac{2\theta +\pi }{4}\right))\frac{\tan (\theta )}{\sqrt{1+{\tan }^2(\theta )}}$
	$\tan (\theta )$	$=\pm \frac{\sin (\theta )}{\sqrt{1-{\sin }^2(\theta )}}$	+	−	−	+	$=\mathrm{sgn}(\sin (\theta +\frac{\pi }{2}))\frac{\sin (\theta )}{\sqrt{1-{\sin }^2(\theta )}}$
sec	$\sin (\theta )$	$=\pm \frac{\sqrt{{\sec }^2(\theta )-1}}{\sec (\theta )}$	+	−	+	−	$=\mathrm{sgn}(\sec \left(\frac{4\theta -\pi }{2}\right))\frac{\sqrt{{\sec }^2(\theta )-1}}{\sec (\theta )}$
	$\sec (\theta )$	$=\pm \frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^2(\theta )}}$	+	−	−	+	$=\mathrm{sgn}(\sin (\theta +\frac{\pi }{2}))\frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^2(\theta )}}$

Всі рівняння, в яких використовуються знаки плюс/мінус (±), мають додатні значення для кутів в першій чверті.

Основний зв'язок між синусом і косинусом може виражатися у вигляді Тригонометричної тотожності Піфагора:

${\cos }^2(\theta )+{\sin }^2(\theta )=1$

де sin²x означає (sin(x))².

Властивості пов'язані із чвертями

Чотири чверті Декартової системи координат.

В рамках чотирьох чвертей функція синусу має наступні властивості.

Чверть	Градуси	Радіани	Значення	Знак	Монотонність	Опуклість
1-а чверть	$0^{\circ }<x<90^{\circ }$	$0<x<\frac{\pi }{2}$	$0<\sin (x)<1$	$+$	зростаюча	увігнута
2-а чверть	$90^{\circ }<x<180^{\circ }$	$\frac{\pi }{2}<x<\pi$	$0<\sin (x)<1$	$+$	спадна	увігнута
3-а чверть	$180^{\circ }<x<270^{\circ }$	$\pi <x<\frac{3\pi }{2}$	$-1<\sin (x)<0$	$-$	спадна	опукла
4-а чверть	$270^{\circ }<x<360^{\circ }$	$\frac{3\pi }{2}<x<2\pi$	$-1<\sin (x)<0$	$-$	зростаюча	опукла

Точки на межах чвертей. k є цілим числом.

Чверті одиничного кола і функції sin x, у Декартовій системі координат.

Градуси	Радіани $0\le x<2\pi$	Радіани	$\sin (x)$	Тип точки
$0^{\circ }$	$0$	$2\pi k$	$0$	Корінь, Точка перегину
$90^{\circ }$	$\frac{\pi }{2}$	$2\pi k+\frac{\pi }{2}$	$1$	Максимум
$180^{\circ }$	$\pi$	$2\pi k-\pi$	$0$	Корінь, Точка перегину
$270^{\circ }$	$\frac{3\pi }{2}$	$2\pi k-\frac{\pi }{2}$	$-1$	Мінімум

Для аргументів, яких нема в цій таблиці, значення задані із урахуванням, що функція синусу є періодичною із періодом 360° (або 2Шаблон:Pi радіан): $\sin (\alpha +360^{\circ })=\sin (\alpha )$, або $\sin (\alpha +180^{\circ })=-\sin (\alpha )$. А також $\cos (x)=\frac{e^{xi}+e^{-xi}}{2}$ і $\sin (x)=\frac{e^{xi}-e^{-xi}}{2i}$. Для доповнення синусу, маємо $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin (\alpha )$.

Див. також

• Тригонометричні функції
• Формула Ейлера
• Гіперболічні функції
• Теорема синусів
• Синусоїда
• Рівняння синус-Ґордона

Посилання

• Шаблон:УСЕ-4