Опукла функція

Опукла функція однієї змінної

Опукла функція, або опукла вниз функція — функція, яка визначена на опуклій множині лінійного простору, і задовольняє нерівності

$f(\lambda x+(1-\lambda )y)⩽\lambda f(x)+(1-\lambda )f(y),\mathrm{\forall }\lambda \in [0;1].$

Нехай область визначення опуклої функції $f(x)$ лежить в скінченновимірному просторі, тоді $f(x)$ неперервна в будь-якій внутрішній точці цієї області.

Властивості опуклих функцій

Нехай $x_1,\dots ,x_n$ — будь-які точки із області визначення опуклої функції $f(x)$, ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ — невід'ємні числа, які в сумі дорівнюють $1$. Тоді

$f\left(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{x}_i\right)⩽\sum _{i=1}^m{\lambda }_{i}f(x_i)$.

Якщо $f(x)$ — двічі неперервно-диференційована опукла функція, то матриця її других похідних не від'ємно визначена.

Сильно опукла функція

Поняття сильно опуклої функції розширює та параметризує поняття строгої опуклості. Сильно опукла функція також є строго опуклою, але не навпаки.

Диференційовна функція Шаблон:Mvar називається сильно опуклою з параметром Шаблон:Math якщо для всіх точок Шаблон:Math в її домені зберігається наступна нерівність:

$(\mathrm{\nabla }f(x)-\mathrm{\nabla }f(y){)}^T(x-y)\ge m\Vert x-y{\Vert }_2^2$

або більш загально,

$⟨\mathrm{\nabla }f(x)-\mathrm{\nabla }f(y),(x-y)⟩\ge m\Vert x-y{\Vert }^2$

де $\Vert \cdot \Vert$ будь-яка норма.

Операції, що зберігають опуклість

• Якщо Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar є опуклими функціями, тоді $m(x)=\max \{f(x),g(x)\}$ і $h(x)=f(x)+g(x)$ також опуклі.
• Якщо Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar є опуклими функціями і Шаблон:Mvar є неспадною, тоді $h(x)=g(f(x))$ є опуклою. Наприклад, якщо Шаблон:Math є опуклою, тоді $e^{f(x)}$, також опукла, тому що $e^x$ є опуклою і монотонно висхідною.
• Якщо Шаблон:Mvar є угнутою і Шаблон:Mvar є опуклою і невисхідною, тоді $h(x)=g(f(x))$ є опуклою.
• Опуклість незмінна при застосування афінного відображення: тобто, якщо Шаблон:Math є опуклою із областю визначення $D_f\subseteq {𝐑}^m$, тоді $g(x)=f(Ax+b)$ також опукла, де $A\in {𝐑}^{m\times n},b\in {𝐑}^m$ з областю визначення $D_g\subseteq {𝐑}^n$.
• Якщо Шаблон:Math є опуклою по Шаблон:Mvar тоді $g(x)=\underset{y\in C}{\sup }f(x,y)$ є опуклою по x, якщо $g(x)>-\mathrm{\infty }$ для якогось Шаблон:Mvar, навіть якщо C не є опуклою множиною.
• Якщо Шаблон:Math є опуклою, тоді її перспектива $g(x,t)=tf(x/t)$ (чия область визначення — $\{(x,t)|\frac{x}{t}\in \text{Dom}(f),t>0\}$) є опуклою.
• Протилежна до опуклої функції функція є угнутою.
• Якщо $f(x)$ є опуклою дійснозначимою функцією, тоді $f(x)=\underset{n}{\sup }(a_{n}x+b_n)$ для зліченного набору дійсних чисел $(a_n,b_n).$

Див. також

• Увігнута функція
• Точка перегину
• Опукла множина
• Задача опуклого програмування
• Квазіопукла функція
• Субдиференціал
• Опуклий аналіз

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Банах.Диференціальне та інтегральне числення
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Клепко ВМ
• Енциклопедія кібернетики, Пшеничний Б. М., т. 1, ст. 198.