Скінченновимірний простір

Шаблон:Не плутати Скінченнови́мірний про́стір — це векторний простір, у якому є скінченний базис — породжувальна (повна) лінійно незалежна система векторів. Іншими словами, в такому просторі існує скінченна лінійно незалежна система векторів, лінійною комбінацією яких можна подати будь-який вектор даного простору.

Базис — це (одночасно) і мінімальна породжувальна (повна) система, і максимальна лінійно незалежна система векторів. Всі базиси містять однакову кількість елементів, яку називають розмірністю векторного простору.

Скінченновимірний простір, у якому введено скалярний добуток його елементів, називають евклідовим. Скінченновимірний простір, у якому введено норму його елементів, називають скінченновимірним нормованим. Наявність скалярного добутку або норми породжує в скінченновимірному просторі метрику.

Властивості скінченновимірних просторів

Кожен елемент $x$ скінченновимірного простору $X$ можна подати єдиним чином у вигляді

$x=a_1{e}_1+a_2{e}_2+...+a_n{e}_n,$

$a_1,a_2,...,a_n\in \mathbb{P}$ де $\mathbb{P}$ — поле (часто $ℝ$ або $ℂ$), над яким розглядається простір $X$, $e_1,e_2,...,e_n\in X$ — елементи базису. Це випливає з визначення базису.

Також будь-який базис в евклідовому просторі можна зробити ортонормованим за допомогою ортогоналізації Шмідта.

• Всі базиси скінченновимірного простору складаються з однакової кількості елементів. Ця властивість дає коректність визначення розмірності простору.
• Нехай $X$ — скінченновимірний простір і $\{x_1,x_2,...,x_k\}$ — лінійно-незалежна система елементів. Тоді цю систему завжди можна доповнити до базиса.
• Всі скінченновимірні простори однакової розмірності ізоморфні один одному.
• В будь-якому скінченновимірному просторі над полем $ℝ$ можна ввести скалярний добуток. Наприклад, у просторі $X$ із фіксованим базисом, розмірності $n$, можна ввести скалярний добуток за правилом:
  
  $\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in X,(x_1,x_2)=\sum _{k=1}^n{a}_k\cdot b_k$, де $\{a_k\},\{b_k\}$ — компоненти векторів $x_1$ і $x_2$ відповідно.
  
  Із цієї властивості випливає, що в скінченновимірному просторі над полем $ℝ$ можна ввести норму і метрику. Як наслідок, можна отримати що:
  • $X$ — рефлексивний простір.
  • Простір $X^{*}$, спряжений до деякого скінченновимірного простору $X$, скінченновимірний і його розмірність збігається з розмірністю $X$.
  • Для будь-якого підпростору $M\subset X$ скінченновимірного простору $X$ існує підпростір $M^{\perp }\subset X$ такий, що $\mathrm{\forall }x\in M,\mathrm{\forall }y\in M^{\perp },x\perp y$ і $X$ розкладається в пряму суму $M$ і $M^{\perp }$, $X=M\oplus M^{\perp }$.
• В евклідовому просторі кожна слабко збіжна послідовність збігається сильно.
• Всі норми у скінченновимірному просторі над полем $ℝ$ еквівалентні. Збіжність у евклідовому просторі еквівалентна покоординатній збіжності.
• Кожен лінійний неперервний оператор у скінченновимірному просторі можна подати у вигляді матриці.
• Простір $X$ над полем $ℝ$ є скінченновимірним тоді й лише тоді, коли одиничний оператор $I:X\to X$ є цілком неперервним.
• Простір $X$ є скінченновимірним тоді й лише тоді, коли знайдеться оборотний цілком неперервний оператор, що діє над $X$.
• Простір $X$ є скінченновимірним тоді й лише тоді, коли одинична куля в $X$ передкомпактна. Цю властивість можна переформулювати так: простір $X$ є скінченновимірним тоді й лише тоді, коли будь-яка обмежна в $X$ множина передкомпактна.
• Будь-який лінійний оператор $A:X\to Y$, визначений у скінченновимірному просторі $X$ є неперервним і навіть цілком неперервним.
• У скінченновимірному просторі кожен оператор є унітарним тоді й лише тоді, коли він ізометричний, тобто зберігає скалярний добуток.

Приклади

• Евклідів простір ${𝔼}^3$ має розмірність 3, за його базис можна вибрати трійку векторів

$\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\}$

Загальніший випадок — простору ${ℝ}^n$ розмірності n. Норму в них зазвичай задають одним з таких способів ($1\le p<\mathrm{\infty }$):

$\Vert x{\Vert }_p=\sqrt[p]{\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p}$ або $\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{i=1,2,\dots ,n}{\max }|x_i|.$

Якщо ввести норму $\Vert x{\Vert }_2$ і скалярний добуток $(x,y)=\sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i},$ то простір буде евклідовим.

• $P^n$ — простір усіх многочленів степеня не вище $n$. Розмірність цього простору $n+1$. Многочлени $1,x,x^2,...,x^n$ утворюють у ньому базис.
• Нехай $X$ — довільний лінійний простір і нехай $\{x_1,x_2,...,x_n\}$ деяка лінійно-незалежна система векторів. Тоді лінійна оболонка, натягнута на цю систему є скінченновимірним простором.

Див. також

• Нескінченновимірний простір

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга