Рефлексивний простір

Рефлексивний простір — банахів простір $X$, що збігається при канонічному вкладенні зі своїм другим спряженим $X^{**}$.

Означення

Нехай $X^{*}$ — простір, спряжений з $X$, тобто сукупність усіх неперервних лінійних функціоналів, визначених на $X$. Якщо $⟨x,f⟩$ — значення функціоналу $f\in X^{*}$ на елементі $x\in X$, то при фіксованому $x$ і $f$, що пробігають $X^{*}$, вираз $⟨x,f⟩={ℱ}_x(f)$ буде лінійним функціоналом на $X^{*}$, тобто елементом простору $X^{**}$. Нехай $\bar{X}\subset X^{**}$ — множина таких функціоналів. Відповідність $x\to {ℱ}_x$ є ізоморфізм, що не змінює норму $||x||=||{ℱ}_x||$.

Якщо $\bar{X}=X^{**}$, то простір $X$ називається рефлексивним.

Приклади

• Простори ${\ell }_p$ і $L_p(a,b)$, $1<p<\mathrm{\infty }$, рефлексивні,
• Простори $C[a,b]$, $L_1[a,b],L_{\mathrm{\infty }}[a,b]$ не рефлексивні.

Властивості

• Простір $X$ рефлексивний тоді і тільки тоді, коли $X^{*}$ рефлексивно.
• Простір X рефлексивний тоді і тільки тоді, коли одинична куля цього простору слабо компактна.
• Рефлексивний простір слабко повний. Зворотне невірно, існують слабко повні нерефлексівним простору, наприклад $L_1$.
• Замкнутий підпростір рефлексивного простору рефлексивно.

Варіації і узагальнення

• Поняття рефлексивності природним чином поширюється на локально опуклі простори.

Література

• Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, ч. 1 — Общая теория, пер. с англ., М., 1982;
• Иосида К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1967;
• Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ, I изд., М., 1977.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга