Метричний простір

Метри́чний про́стір — це множина об'єктів довільної природи, для яких введено поняття відстані між елементами (числами, n-дійсними числами, n-вимірними векторами, функціями, наборами функцій, тощо).

Формальне визначення

Метричним простором називається пара $(X,d)$, яка складається з деякої множини елементів $X$ і відстані $d:X\times X\to ℝ$, а саме однозначної, невід'ємної, дійсної функції $d(x,y)$, визначеної для $\mathrm{\forall }x,y\in X$, яка задовольняє такі 3 аксіоми:

1. $d(x,y)=0\iff x=y$ (аксіома тотожності).
2. $d(x,y)=d(y,x)$ (аксіома симетрії).
3. $d(x,z)⩽d(x,y)+d(y,z)$ (нерівність трикутника).

Невід'ємність доводиться за допомогою таких міркувань:

$0=d(x,x)⩽d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y)$

Приклади метричних просторів

1. Простір ізольованих точок
   $d(x,y)=\{\begin{array}{cc}0,& x=y\\ 1,& x\ne y\end{array}$
2. Множина дійсних чисел утворює метричний простір ${ℝ}^1$
   $d(x,y)=|x-y|$
3. Множина впорядкованих груп з n дійсних чисел $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ з відстанню
   $d(x,y)=\sqrt{\sum _{k=1}^n(y_k-x_k{)}^2}$
   називається n-вимірним арифметичним евклідовим простором ${ℝ}^n$.
4. Ту саму множину впорядкованих груп з n дійсних чисел $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$, але з відстанню
   $d_1(x,y)=\sum _{k=1}^n|y_k-x_k|$
   позначимо простором ${ℝ}_1^n$.
5. Знову візьмемо ту саму множину, що в прикладах 3 і 4, і визначимо відстань між його елементами формулою:
   $d_{\mathrm{\infty }}(x,y)=\underset{1⩽k⩽n}{\max }|y_k-x_k|$
   Цей простір ${ℝ}_{\mathrm{\infty }}^n$ в багатьох питаннях аналізу не менш зручний, ніж евклідів простір ${ℝ}^n$.
6. Множина $C_{[a,b]}$ всіх неперервних дійсних функцій, визначених на проміжку $[a,b]$ з відстанню
   $d(f,g)=\underset{a⩽t⩽b}{\max }|g(t)-f(t)|$
7. Позначимо через ${𝑙}_2$ метричний простір, точками якого слугують всі можливі послідовності $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n,\dots )$ дійсних чисел, що задовольняють умові: $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_k^2<\mathrm{\infty }$, а відстань визначається формулою:
   $d(x,y)=\sqrt{\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(y_k-x_k{)}^2}$
8. Розглянемо, як і в прикладі 6, сукупність усіх функцій, неперервних на відрізку $[a,b]$, але відстань визначимо по-іншому, а саме:
   $d(x,y)={(\underset{a}{\overset{b}{\int }}(x(t)-y(t){)}^2)}^{1/2}$
   Такий метричний простір позначимо $C_2[a,b]$ і будемо називати простором неперервних функцій з квадратичною метрикою.
9. Розглянувши множину усіх обмежених послідовностей $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n,\dots )$ дійсних чисел, отримаємо простір $𝑚$ з метрикою:
   $d(x,y)=\underset{k}{\sup }|y_k-x_k|$
10. Множина впорядкованих груп з n дійсних чисел з відстанню
    $d(x,y)=(\sum _{k=1}^n|y_k-x_k{|}^p{)}^{1/p}$,
    де $p$ — будь-яке фіксоване число $⩾1$. Цей простір позначимо ${ℝ}_p^n$

Метричні простори та аксіоми зліченності

1. Будь-який метричний простір задовольняє першу аксіому зліченності. Шаблон:Hider 2. Якщо метричний простір сепарабельний, то він задовольняє другу аксіому зліченності. Шаблон:Hider

Відкриті і замкнуті множини, топологія і збіжність

Будь-який метричний простір є топологічним простором, тому всі визначення і теореми, що стосуються топологічних просторів, можна природним чином поширити на метричні простори.

Для будь-якої точки $x$ метричного простору $X$ визначимо відкриту кулю радіуса $r>0$ з центром в точці $x$, як множину $B(x,r)\equiv \{y\in X|d(x,y)<r\}$. Такі відкриті кулі породжують топологію на $X$, а отже й топологічний простір. Породжена топологія задовольняє багатьом умовам, наприклад всім аксіомам віддільності.

Підмножина $U$ метричного простору $X$ називається відкритою, якщо $\mathrm{\forall }x\in U\mathrm{\exists }r>0$, такий що $B(x,r)\subset U.$ Доповненням до відкритої множини називається замкнута множина. Околом точки $x\in X$ називається будь-яка відкрита підмножина $X$, що містить $x$.

Послідовність $\{x_n\}$ метричного простору $X$ називається збіжною до границі $x\in X$ тоді і тільки тоді, коли $\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n>Nd(x_n,x)<ϵ.$ Також можна використовувати загальне означення збіжності для топологічного простору.

Підмножина $A$ метричного простору $X$ замкнена тоді і тільки тоді, коли будь-яка послідовність $A$ збіжна в $X$ і має границю, що належить $A$.

Гомеоморфізм. Ізоморфізм

Якщо відображення $f:X\to Y$ взаємно однозначне, то існує обернене відображення $x=f^{-1}(y)$ простору $Y$ на простір $X$. Якщо відображення $f$ взаємно однозначне і взаємно неперервне, то воно називається гомеоморфним відображенням або гомеоморфізмом, а самі простори $X$ та $Y$, між якими можна встановити гомеоморфізм, називаються гомеоморфними між собою. Важливим окремим випадком гомеоморфізму є так зване ізометричне відображення.

Кажуть, що бієкція $f$ між метричними просторами $(X,d_1)$ і $(Y,d_2)$ є ізометрією, якщо $d_1(x_1,x_2)=d_2(f(x_1),f(x_2))\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in ℝ$. Простори $X$ і $Y$, між якими можна встановити ізометричне співвідношення, називаються ізометричними.

Ізометрія просторів означає, що метричні зв'язки між їхніми елементами одні і ті ж самі; різною може бути лише природа їхніх елементів, що з точки зору теорії метричних просторів несуттєво. Ізометричні між собою простори можна розглядати як тотожні.

Типи метричних просторів

Повні простори

Метричний простір називається повним, якщо у ньому будь-яка фундаментальна послідовність є збіжною до елемента цього простору: $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }n>N,\mathrm{\forall }m>N:d(x_n,x_m)<\epsilon$.

Будь-який евклідів простір, як і будь-яка замкнена множина, є повним метричним простором.

Будь-який метричний простір має єдине (з точністю до ізометрії) поповнення, що складається з повного метричного простору, який містить даний простір у вигляді щільної підмножини.

Якщо $X$ повна підмножина метричного простору $M$, то $X$ є замкненим в $M$. Дійсно, простір $X\subset M$ є повним тоді і тільки тоді, коли він є замкненим у повному метричному просторі $M$.

Якщо $(X,d)$ — повний метричний простір, то $X$ є множиною другої категорії (Теорема Бера про категорії).

Див. також

• Повний метричний простір
• Категорія метричних просторів
• Нормований простір
• Неархімедова метрика
• Відстань Гаусдорфа
• Скінченний топологічний простір

Джерела

• Шаблон:Банах. КФА Лінійні операції
• Шаблон:Березанський.Ус.Шефтель
• Шаблон:Ахієзер.Глазман.ТЛОвГП.т1
• Шаблон:Завало.Елементи аналізу. Алгебра многочленів.
• Шаблон:Голод.Клімик.Математичні основи теорії симетрії
• Шаблон:Гельфанд.Линейная алгебра

Посилання

• Шаблон:Cite web