Нерівність трикутника

Три приклади нерівності трикутника для трикутників зі сторонами з довжинами Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math. Верхній приклад показує випадок, коли Шаблон:Math є значно меншою за суму інших двох сторін Шаблон:Math, а нижній приклад показує випадок, коли сторона Шаблон:Math є лише трошки меншою за Шаблон:Math.

Нерівність трикутника — основна властивість геометричних фігур евклідового простору, відстані, що використовується в геометрії, функціональному аналізі.

Вона стверджує, що будь-яка сторона довільного трикутника менша за суму двох інших його сторін та більша за їх різницю.

Нерівність трикутника входить як аксіома в визначення метрики простору, норми.

Евклідова геометрія

Евклідова побудова доведення нерівності трикутника для планиметрії.

Нерівність трикутника є теоремою в Евклідовій геометрії, доведення наведено ще в «Началах» Евкліда.

В трикутнику $\mathrm{\Delta }ABC:|AC|⩽|AB|+|BC|,$ причому рівність $|AC|=|AB|+|BC|$ досягається тільки тоді, коли трикутник вироджений і точка $B$ лежить строго між $A$ та $C$.

Нормований простір

Нерівність трикутника для норм векторів.

Якщо $(V,\Vert \cdot \Vert )$ — нормований векторний простір, де $V$ — довільна множина, а $\Vert \cdot \Vert$ — визначена на $V$ норма. Тоді за визначенням норми:

$\Vert x+y\Vert ⩽\Vert x\Vert +\Vert y\Vert ,\mathrm{\forall }x,y\in V.$

• В гільбертовім просторі, нерівність трикутника є безпосереднім єдинозворотнім нетривіальним наслідком нерівності Коші — Буняковского.

Метричний простір

Якщо $(X,\rho )$ — метричний простір, де $X$ — довільна множина, а $\rho$ — визначена на $X$ метрика. Тоді за визначенням метрики:

$\rho (x,y)⩽\rho (x,z)+\rho (z,y),x,y,z\in X.$

Обернена нерівність трикутника

Наслідком нерівності трикутника в нормованому та метричному просторі є такі нерівності:

• $|\Vert x\Vert -\Vert y\Vert |⩽\Vert x-y\Vert ,x,y\in V;$
• $|\rho (x,y)-\rho (x,z)|⩽\rho (y,z),x,y,z\in X.$

Джерела

• Шаблон:Беккенбах.Беллман