Гільбертів простір

Стан вібруючої струни можна змоделювати як точку у гільбертовому просторі. Декомпозиція вібруючої струни на її вібрації в різних обертонах задається проєкцією точки на координатні осі в просторі.

Гі́льбертів про́стір (на честь Давида Гільберта) — це узагальнення поняття евклідового простору на нескінченновимірний випадок. Є лінійним простором над полем дійсних або комплексних чисел (прийменник «над» означає, що у такому просторі дозволені операції множення на скаляри із відповідних полів), із визначеним скалярним добутком. Останній дозволяє:

1. вводити поняття, аналогічні звичним поняттям ортогональності і кута;
2. визначити метрику, відносно якої гільбертів простір є повним метричним простором.

Гільбертові простори часто виникають у математиці та фізиці — як правило, як функціональні простори. Вперше вони досліджувалися з цієї точки зору в першому десятилітті 20-го століття Давидом Гільбертом, Ерхардом Шмідтом і Фріджесом Рісом. Гільбертові простори є незамінними інструментами в теорії диференціальних рівнянь у частинних похідних, квантовій механіці, аналізі Фур'є (який включає застосування до обробки сигналів і теплопередачі) та ергодичній теорії (яка формує математичну основу термодинаміки). Джон фон Нейман ввів термін «Гільбертовий простір» для абстрактної концепції, яка лежить в основі багатьох із цих різноманітних застосувань. Успіх методів простору Гільберта започаткував дуже плідну еру функціонального аналізу. Окрім класичних евклідових векторних просторів, прикладами гільбертових просторів є простори квадратично-інтегрованих функцій, простори послідовностей, простори Соболєва, що складаються з узагальнених функцій, і простори Харді голоморфних функцій.

Геометрична інтуїція відіграє важливу роль у багатьох аспектах теорії гільбертового простору. Так, у гільбертовому просторі справедливі точні аналоги теореми Піфагора і правила паралелограма. На глибшому рівні — перпендикулярна проекція на лінійний підпростір або підпростір (аналог «опускання висоти» в трикутнику) відіграє значну роль у вирішенні проблем оптимізації. Елемент гільбертового простору може бути однозначно заданий його координатами відносно ортонормованого базису, за аналогією з декартовими координатами в класичній геометрії. Коли цей базис є зліченно-нескінченним, це дозволяє ототожнити гільбертовий простір з простором нескінченних послідовностей, які сумуються квадратами. Останній простір часто в старій літературі називають простором Гільберта.

Означення

Гільбертовим простором називається векторний простір $H$над полем дійсних або комплексних чисел разом зі скалярним добутком — функцією від двох змінних $(\cdot ,\cdot ):H\times H\to ℝ$(або $ℂ$, у випадку використання поля комплексних чисел), що задовольняє такі умови:

1. $(x,x)\ge 0$ для кожного $x\in H$
2. $(x,x)=0$ тоді і лише тоді, коли $x=0$
3. $(x+y,z)=(x,z)+(y,z)$ для довільних трьох $x,y,z\in H$
4. $(\alpha x,y)=\alpha (x,y)$, де $x,y\in H$, $\alpha$ — елемент скалярного поля. ($ℝ$ або $ℂ$)
5. $(x,y)=\overline{(y,x)}x,y\in H$
6. Для довільної послідовності $x_n\in H,n=1,2,\dots ,$, для якої виконано (умова фундаментальності)

знайдеться елемент $x\in H$, що для нього

Тоді кажуть, що $x$ є границею послідовності $x_n$.

Наведене вище означення однаково застосовне як для випадку простору над дійсними числами, так і над комплексними; досить зауважити, що у першому випадку в умові 5 маємо просто симетричність скалярного добутку: $(x,y)=(y,x)$.

Іноді також вимагається, щоб для розмірності простору виконувалось $dimH=\mathrm{\infty }$, хоча, очевидно, евклідові (скінченновимірні) простори можна розглядати як гільбертові без жодних додаткових застережень.

Слід зазначити, що умова 6 означає повноту простору відносно норми, заданої, як $\Vert x\Vert =\sqrt{(x,x)}$ (те, що наведена функція справді є нормою, випливає із вказаних вище властивостей скалярного добутку); враховуючи лінійність, маємо, що кожен гільбертів простір є одночасно банаховим простором (тобто, повним нормованим векторним простором) із нормою $\Vert x\Vert =\sqrt{(x,x)}$.

Гільбертів простір є узагальненням для випадку нескінченної розмірності як евклідового простору ${ℝ}^n$ так і ермітового простору ${ℂ}^n.$

Передгільбертів простір — векторний простір зі скалярним добутком (умови 1-5). Умови повноти простору 6 немає, тому він, загалом, не є банаховим.

Лінійне відображення $L:H_1\to H_2$ між двома (комплексними) гільбертовими просторами називається ізометрією, якщо воно зберігає (ермітовий) скалярний добуток, тобто для будь-яких векторів $u,v\in H_1,$ виконується рівність $(L(u),L(v))=(u,v).$ За допомогою тотожності паралелограма,

$\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2=2(\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2)$

(випливає із властивостей скалярного добутку і означення норми у гільбертовому просторі; $x,y\in H$ — довільні) доводиться, що $L$ є ізометрією тоді і тільки тоді, коли воно зберігає норму, тобто $\Vert L(v)\Vert =\Vert v\Vert$ для будь-якого $v\in H_1.$ Ізометрія між двома гільбертовими просторами, що є бієкцією, називається ізоморфізмом гільбертових просторів.

Приклади

1. Простір $l^2,$ що складається зі збіжних послідовностей комплексних чисел — тобто, послідовностей, для яких

$𝐱=(x_1,x_2,\dots ,x_n,\dots ),\Vert 𝐱{\Vert }^2=\sum _{n\ge 1}|x_n{|}^2<\mathrm{\infty },$

із ермітовим скалярним добутком

$(𝐱,𝐲)=\sum _{n\ge 1}{x}_n\overline{y_n}$

є комплексним гільбертовим простором. Якщо обмежитися лише послідовностями з дійсними членами, то одержимо дійсний гільбертів простір. Те, що $(𝐱,𝐲)<\mathrm{\infty },$ тобто ряд збігається — не очевидний факт, що потребує доведення. Збіжність ряда випливає із нерівності Коші-Буняковського, застосованої до перших $n$ членів послідовностей $𝐱$ і $𝐲.$ Отож, отримуємо, що

$|(𝐱,𝐲)|\le \Vert 𝐱\Vert \Vert 𝐲\Vert .$

У курсі функціонального аналізу доводиться також, що простір $l^2$ — повний і, таким чином, задовольняє всім аксіомам гільбертового простору.

2. Гільбертів простір $L^2[-\pi ,\pi ]$ квадратично-інтегрованих за Лебегом функцій на відрізку $[-\pi ,\pi ]$ утворюється з лінійного простору неперервних комплекснозначних функцій на цьому відрізку за операцією поповнення. Наведемо лише означення ермітового скалярного добутку на $L^2[-\pi ,\pi ]$:

$(f,g)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\overline{g(x)}dx.$

Ортонормальні базиси: координати у гільбертовому просторі

У будь-якому гільбертовому просторі $H$ можна ввести систему координат, що узагальнюють декартові координати на площині або в звичайному тривимірному евклідовому просторі. Це досягається за допомогою вибору ортонормального базису в $H.$

Система векторів $\{u_i:i\in I\}$ гільбертового простору $H,$ що індексується множиною $I,$ називається ортогональною, якщо $(u_i,u_j)=0$ для будь-яких $i\ne j\in I$ і ортонормальною, якщо додатково $(u_i,u_i)=1$ для будь-якого $i\in I.$

Отже, ортонормальна система складається з попарно ортогональних векторів гільбертового простору одиничної довжини. Система векторів називається повною, якщо множина їх скінчених лінійних комбінацій — щільна у $H.$

Повна ортонормальна система векторів гільбертового простору $H$ називається ортонормальним базисом у $H.$ Повнота ортонормальної системи векторів перевіряється за допомогою рівності Парсеваля, див. нижче.

Координати вектора $w\in H$ відносно даного ортонормального базису — це скаляри $a_i=(u_i,w),i\in I.$ Вектор $w$ повністю визначений своїми координатами і може бути формально розкладений за елементами ортонормального базису:

$w=\sum _{i\in I}{a}_i{u}_i=\sum _{i\in I}(u_i,w)u_i.$

Сепарабельні гільбертові простори утворюють найважливіший клас нескінченновимірних гільбертових просторів. Вони можуть бути охарактеризовані як такі, в яких можна обрати ортонормальний базис із зліченної множини векторів. Виявляється, що за обранням ортонормального базису $\{u_1,u_2,\dots ,u_n,\dots \},$ будь-який (нескінченовимірний) сепарабельний гільбертів простір $H$ стає ізоморфним до $l^2.$

Дійсно, розгляньмо відображення

$L:H\to l^2,L(v)=\{(v,u_n):n=1,2,\dots \},$

яке будь-якому вектору $v\in H$ ставить у відповідність послідовність його координат відносно ортонормального базису $\{u_n:n\in \mathbb{N}\}.$ Тоді $L$ — це лінійне відображення, і потрібно ще переконатися, що воно є ізометрією з образом $l^2.$ Ці властивості випливають з наступної рівності Парсеваля.

Рівність Парсеваля

Припустимо, що $\{u_1,u_2,\dots \}$ — це скінченна або зліченна ортонормальна система векторів у гільбертовому просторі $H.$ Повнота цієї системи еквівалентна виконанню наступної рівності для всіх векторів $v\in H:$

$\sum |(u_i,v){|}^2=(v,v),$

де сума розповсюджується на всі елементи даної системи векторів. У будь-якому разі, ряд у лівій частині цієї рівності збігається і його сума не перевищує праву частину, цей факт називається нерівністю Бесселя.

Рівність Парсеваля вперше з'явилась у дослідженні рядів Фур'є неперервних функцій на скінченному інтервалі у такому вигляді:

$2a_0^2+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n^2+b_n^2)=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x{)}^{2}dx,$ де

$a_0=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)dx,a_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\cos (nx)dx,b_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\sin (nx)dx,n\ge 1$ — коефіцієнти Фур'є дійсної функції $f(x),-\pi \le x\le \pi .$ За елементарними перетвореннями, з цього випливає, що комплексні експоненціальні функції $\{e^{inx}=\cos (nx)+i\sin (nx),n\in \mathbb{Z}\}$ утворюють ортонормальний базис у означеному вище комплексному гільбертовому просторі $L^2[-\pi ,\pi ].$

Див. також

• Банахів простір
• Теорема Ріса

Література

• Шаблон:Банах. КФА Лінійні операції
• Шаблон:Ахієзер.Глазман.ТЛОвГП.т1
• Шаблон:Березанський.Ус.Шефтель
• Шаблон:Колмогоров.Фомин
• Морен К., Методы гильбертова пространства. — М.: Мир, 1965. — 570 c.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга