Комплекснозначна функція

Шаблон:UniboxКомплекснозначна функція в теорії функцій дійсної змінної — функція, що набуває комплексних значень: $f:ℝ\to ℂ$.

Таку функцію можна подати у вигляді:

$f(x)=u(x)+iv(x)$,

де $u(x)$ і $v(x)$ — дійсні функції. У цьому випадку функцію $u(x)$ називають дійсною частиною функції $f(x)$, а $v(x)$ — її уявною частиною. У зв'язку з таким розкладом, на комплекснозначні функції природно переносяться всі поняття, що вводяться для дійснозначних функцій, зокрема, комплекснозначна функція вважається неперервною (диференційовною, аналітичною, вимірною, гармонійною), якщо її дійсна і уявна частини є неперервними (диференційовними, аналітичними, вимірними, гармонійними) функціями. Інтеграл комплекснозначної функції $f(x)=u(x)+iv(x)$ визначається так:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}u(x)dx+i\underset{a}{\overset{b}{\int }}v(x)dx$ .

Однак не всі властивості, виконані для дійсної й уявної частини одночасно, можна поширити на комплекснозначні функції. Зокрема, для комплекснозначних функцій у загальному випадку не діє теорема Ролля, наприклад, похідна комплекснозначної функції дійсного аргументу:

$\sigma (x)=e^{ix}$

на інтервалі $[0,2\pi ]$ не перетворюється на нуль, хоча в кінцевих точках відрізка значення функції рівні $(\sigma (0)=\sigma (2\pi )=1)$.

Література

• Шаблон:Книга