Аналітична функція

Шаблон:Комплексний аналіз Аналіти́чна фу́нкція — функція, яка збігається зі своїм рядом Тейлора в околі будь-якої точки області визначення.

У випадку функції комплексної змінної ця властивість збігається із властивістю голоморфності.

Означення

Означення 1

Однозначна функція $f:ℝ\to ℝ$ називається аналітичною в точці $z_0$, якщо вона розкладається в ряд Тейлора в околі з центром у цій точці, і цей розклад збігається до функції $f$ (в цьому околі). Тобто це функції, які можуть бути виражені степеневими рядами.

Дійсна функція $f(x)$ дійсного аргументу $x$ називається аналітичною функцією у точці $x$ числової осі, якщо можна вказати такий окіл $(x_0-h,x_0+h)$ точки $x_0$, в якому $f(x)$ визначена і може бути виражена формулою виду:

$f(x)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k(x-x_0{)}^k$

де $a_k$ — дійсні числа.

Можна показати, що $a_0=f(x_0)$, $a_k=\frac{1}{k!}{f}^k(x_0)$, де $k=1,2,3,4,\dots$

(Дивись Тейлора ряд).

Зауваження

Функція, аналітична в кожній точці інтервалу $(a,b)$, називається аналітичною функцією на цьому інтервалі. Така функція необмежено диференційована на $(a,b)$, але обернене твердження взагалі не має сили, як показує хоч би приклад функції

$f(x)=10^{\frac{1}{x^2}}(-1<x<1)$

$f^k(0)=\underset{n\to 0}{\lim }{f}^k(x)=0(k=1,2,3,4,\dots )$

де

що

не є А. ф. у точці x = 0.

Аналогічно визначається дійсна аналітична функція кількох дійсних аргументів. Усі ці визначення без принципових ускладнень поширюються і на комплекснозначні функції.

Означення 2

Функцію $f(z)$ комплексного аргументу $z=x+iy$ називається аналітичною функцією від $z$ у точці $z_0\in ℂ$ комплексної числової площини, якщо $f(z)$ визначена в певному круговому околі $(z-z_0)<\rho$ точки $z_0$ і може бути виражена в цьому околі формулою виду:

$f(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k(z-z_0{)}^k$

де $a_k$ — певні комплексні числа.

Можна показати, що

$a_0=f(z_0)$, $a_k=\frac{1}{k!}{f}^k(z_0),(z=1,2,3,4,\dots )$

(див. Тейлора ряд).

Означення 3

Функція, аналітична в кожній точці якоїсь області $G$ комплексної числової площини, називається аналітичною в області $G$.

Зауваження

Виявляється, що аналітичність $f(z)$ в області $G$ є наслідком звичайної її диференційовності в $G$. Аналітична функція кількох комплексних аргументів визначають аналогічно. Аналітичні в області $G$ функції тісно пов'язані з гармонічними функціями в цій області, що часто зустрічаються при розв'язуванні так званих плоских задач математичної фізики. Цим в основному пояснюється і важливе застосовне значення самих аналітичних функцій.

Розвиток теорії аналітичних функцій

У розвитку теорії аналітичних функцій важливу роль відіграли праці Леонарда Ейлера, Оґюстена-Луї Коші, Бернгард Рімана, Карла Вейєршраса.

В дореволюційній Росії істотні результати в застосуванні цієї теорії одержали Софія Василівна Ковалевська, Микола Єгорович Жуковський, С. О. Чаплигін, Г. В. Колосов. Після Жовтневої соціалістичної революції великих успіхів у розвитку теорії аналітичних функцій та їх застосуванні здобули наукові школи, очолювані академіком АН СРСР і УРСР М. О. Лаврентьєвим і професором Г. М. Голузіним. Розроблення проблематики теорії аналітичних функцій в СРСР тісно пов'язане з потребами народного господарства (авіабудівництва, будівництва гідротехнічних споруд та ін.). В УРСР над розробленням проблем теорії аналітичних функцій працюють члени-кореспонденти АН УРСР Наум Ахієзер і М. Г. Крейн, професори Б. Я. Левін, Володимир Олександрович Марченко, Г. М. Положій, В. А. Зморович, П. П. Фільчаков та ін.

Аналітична калібрувальна функція

Вираз, в якому вимірювану величину x елемента i представлено як функцію концентрації c або якоїсь певної величини q для одно- або багатокомпонентних систем, де взаємовпливом елементів можна знехтувати: x_i = F_i(c_i) або x_i = F_i (q_i).

Див. також

• Числова функція
• Алгебраїчні функції
• Трансцендентні функції
• Теорема Хартогса

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2
• Шаблон:УРЕ
• Ахієзер М. І. Курс теорії функцій. К., 1933;
• Соколов Ю. Д Елементи теорії функцій комплексної змінної. К., 1954;
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. Изд. 9. М., 1954,

Посилання

• АНАЛІТИ́ЧНА ФУ́НКЦІЯ Шаблон:Webarchive //ЕСУ