Теорема Хартогса

Теорема Хартогса — твердження у комплексному аналізі про те, що у випадку коли комплексна функція багатьох комплексних змінних буде аналітичною за кожним зі своїх аргументів, то вона також буде аналітичною загалом.

Твердження

Нехай $\mathrm{\Omega }\subseteq {ℂ}^n$ — відкрита множина, $a_1,\dots a_n\in ℂ$ деякі числа. Позначимо ${\mathrm{\Omega }}_{j,a}:=\{z\in ℂ:(a_1,\dots ,a_{j-1},z,a_{j+1},\dots ,a_n)\in \mathrm{\Omega }\}\subseteq ℂ.$ Для функції $f:\mathrm{\Omega }\to ℂ$ можна визначити функції $f_{j,a}:{\mathrm{\Omega }}_{j,a}\to ℂ$ дія яких визначається $z\mapsto f(a_1,\dots ,a_{j-1},z,a_{j+1},\dots ,a_n)$.

При цих позначеннях, якщо $\mathrm{\forall }{a}_1,\dots a_n\in ℂ,\mathrm{\forall }j\in \mathbb{N}:1\le j\le n$ функції $f_{j,a}:{\mathrm{\Omega }}_{j,a}\to ℂ$ є аналітичними, то і функція $f:\mathrm{\Omega }\to ℂ$ є аналітичною.

Доведення

Згідно леми Осґуда достатньо довести, що функція, яка є голоморфною окремо по кожній змінній є неперервною. Лема тоді гарантує загальну голоморфність. Неперервність достатньо довести для відкритого полікруга з центром у довільній точці. Після заміни координат можна вважати, що цією точкою є (0, 0, ..., 0) і тоді замкнутий полікруг мультирадіуса $r=(r_1,\dots ,r_n)$ за означенням є множиною $B_r:=\{z:|z_i|⩽r_i\}$ де $z:=(z_1,\dots ,z_n)$.

Лема

Нехай полікруг $B_r$ є підмножиною області $\mathrm{\Omega }$ у якій функція $f$ є голоморфною по кожній окремій змінній. Існує комплексне число $\xi$ таке, що $|\xi |<r_1$ і дійсне число $\rho >0$ таке, що круг $|z-\xi |⩽\rho$ є підмножиною відкритого круга $|z|<r_1$, що функція $f$ є обмеженою у полікрузі, що визначається умовами $|z_1-\xi |⩽\rho$ і $|z_i|⩽r_i$ для $i\in 2,\dots ,n.$

Доведення

Твердження є правильним для випадку однієї змінної адже голоморфна у крузі функція є у ньому неперервною. Тому можна доведення здійснювати з використанням методу математичної індукції.

Для випадку $n$ змінних у крузі $|z|⩽r_1$ можна ввести функцію $a(z)=\underset{|z_i|⩽r_i,i⩾2}{\max }|f(z,z_2,\dots ,z_n)|$. Для кожного окремого $z$ максимум береться для функції від $n-1$ змінної, що є голоморфною по кожному аргументу окремо. Згідно припущення індукції ця функція є неперервною. Відповідно її модуль є неперервною дійсною функцією і вона досягає свого максимуму на замкнутому полікрузі від $n-1$ змінної, що є компактною множиною.

Нехай ${\lambda }_N:=\{z:|z|⩽r_1\wedge a(z)⩽N\}.$ Тоді $\{z:|z|⩽r_1\}=\underset{N=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\cup }}{\lambda }_N$ і множини ${\lambda }_N$ є замкнутими. Останнє твердження випливає з того, що якщо ${\eta }_i\in {\lambda }_N$ і $\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\eta }_i=\eta$ то $|\eta |⩽r_1$ і $a(\eta )=\underset{|z_i|⩽r_i,i⩾2}{\max }|f(\eta ,z_2,\dots ,z_n)|=f(\eta ,{\overline{z}}_2,\dots ,{\overline{z}}_n)$ для певних комплексних чисел ${\overline{z}}_i$. Тоді функція $f(z,{\overline{z}}_2,\dots ,{\overline{z}}_n)$ є голоморфною і відповідно неперервною функцією однієї змінної. Тому $f(\eta ,{\overline{z}}_2,\dots ,{\overline{z}}_n)=\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }f({\eta }_i,{\overline{z}}_2,\dots ,{\overline{z}}_n)⩽N.$ Відповідно і $\eta \in {\lambda }_N.$

З теореми Бера про категорії випливає, що якась із множин ${\lambda }_N$ має внутрішню точку $\xi$ і звідcи також замкнутий круг $\{z:|z-\xi |⩽\rho \}\subset {\lambda }_N$. Тоді за означеннями всюди у полікрузі, що визначається умовами $|z_1-\xi |⩽\rho$ і $|z_i|⩽r_i$ для $i\in 2,\dots ,n$ виконується нерівність $f(z_1,\dots ,z_n)⩽N,$ що доводить лему.

Доведення теореми Хартогса

Теорема Хартогса є справедливою для функції однієї змінної де голоморфні функції є неперервними. Тому знову можна використати метод математичної індукції. Також теорему достатньо довести у полікрузі з центром у точці (0, 0, ..., 0) для функцій, що задовольняють умови леми.

Додатково за допомогою елементарних перетворень координат, що не змінюють факт неперервності функцій можна вважати, що всі $r_i=1$, а також за допомогою множення функції на константу, що функціяна полікрузі з умови леми обмежена значенням 1.

Також за допомогою перетворення $\frac{\xi -z}{1-\overline{\xi }z}$ можна вважати, що $\xi$ з твердження леми є рівним 0. Відповідно функція $f$ є неперервною на полікрузі $B_{\rho ,1}:=\{z:|z_1|⩽\rho ,|z_2|⩽1,\dots ,|z_n|⩽1\}.$

Нехай $z^0=(z_1^0,\dots ,z_n^0)$ і $z^1=(z_1^1,\dots ,z_n^1)$ є внутрішніми точками у полікрузі $B_{\rho ,1}.$ Тоді:

$|f(z^1)-f(z^0)|⩽|f(z_1^1,z_2^1,\dots ,z_n^1)-f(z_1^0,z_2^1,\dots ,z_n^1)|+|f(z_1^0,z_2^1,\dots ,z_n^1)-f(z_1^0,z_2^0,\dots ,z_n^1)|+\dots +|f(z_1^0,z_2^0,\dots ,z_n^1)-f(z_1^0,z_2^0,\dots ,z_n^0)|$

З інтегральної теореми Коші випливає, що:

$|f(z_1^0,\dots ,z_i^1,\dots ,z_n^1)-f(z_1^0,\dots ,z_i^0,\dots ,z_n^1)|⩽|2\pi \int \frac{f(z)}{1-z_i^1}dz-2\pi \int \frac{f(z)}{1-z_i^0}dz|=2\pi |\int \frac{f(z)(z_i^1-z_i^0)}{(1-z_i^1)(1-z_i^0)}dz|⩽\frac{|z_i^1-z_i^0|}{(1-|z_i^1|)(1-|z_i^0|)}.$

Інтеграли у цих нерівностях є лінійним інтегралом но одиничному колі. По першій змінній натомість інтеграл потрібно брати по колу радіуса $\rho$ і відповідна нерівність тоді буде:

$|f(z_1^1,\dots ,z_n^1)-f(z_1^0,\dots ,z_n^1)|⩽\frac{|z_1^1-z_1^0|}{(\rho -|z_1^1|)(\rho -|z_1^0|)}.$

Сумарно враховуючи всі нерівності:

$|f(z^1)-f(z^0)|⩽\frac{|z_1^1-z_1^0|}{(\rho -|z_1^1|)(\rho -|z_1^0|)}+\frac{|z_2^1-z_2^0|}{(1-|z_2^1|)(1-|z_2^0|)}+\dots +\frac{|z_n^1-z_n^0|}{(1-|z_n^1|)(1-|z_n^0|)}$

Коли $z^1$ прямує до $z^0$ то чисельники доданків у правій стороні нерівності прямують до нуля, а знаменники до деяких додатних чисел. Тому права і, відповідно, ліва сторони прямують до нуля. Тобто якщо $z^1$ прямує до $z^0$ то і $f(z^1)$ прямує до $f(z^0)$. Відповідно функція є неперервною у точці $z^0$, а з довільності вибору цієї точки випливає її неперервність у полікрузі $B_{\rho ,1}.$

Зафіксувавши точки $z_2,\dots ,z_n,|z_i|<1$ можна функція однієї комплексної змінної $f(z_1,z_2,\dots ,z_n)$ є голоморфною і можна запмсати розклад у ряд Тейлора:

$f(z_1,z_2,\dots ,z_n)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_k(z_2,\dots ,z_n)z_1^k,\mathrm{\forall }|z_1|⩽1.$

Якщо $|z_1|<\rho$, то $(z_1,\dots ,z_n)$ належить полікругу $B_{\rho ,1}$ в якому функція є неперервною. Тоді із інтегральних формул Коші для коефіцієнтів ряду Тейлора:

$f_k(z_2,\dots ,z_n)=\underset{|\xi |=r<\rho }{\int }\frac{f(z_1,z_2,\dots ,z_n)}{{\xi }^{k+1}}d\xi .$

У правій стороні можна міняти місцями диференціювання по будь-якій змінній $z_i$ і інтегрування. Відповідно функції є голоморфними по кожній окремій змінній і згідно припущення індукції також є неперервними і відповідно голоморфними загалом.

Для неперервності суми ряду $f(z_1,z_2,\dots ,z_n)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_k(z_2,\dots ,z_n)z_1^k$ достатньо довести, що ряд збігається рівномірно на компактних підмножинах.

Оскільки по першому аргументу $f(z_1,z_2,\dots ,z_n)$ є голоморфною у деякій області, що містить одиничний круг, то її радіус збіжності степеневого ряду є більшим одиниці і з теореми Коші — Адамара випливають нерівності:

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}|f_k(z_2,\dots ,z_n){|}^{1/k}<1$

Також із виразу цих значень із інтегральних формул Коші випливають нерівності:

$|f_k(z_2,\dots ,z_n)|<\frac{1}{{\rho }^k}.$

Нехай $\mathrm{\Lambda }:=\{(z_2,\dots ,z_n):|z_k|=1\}$ — кістяк полікруга від $n-1$ змінної і ${\mathrm{\Lambda }}_k:=\{(z_2,\dots ,z_n)\in \mathrm{\Lambda }:|f_k(z_2,\dots ,z_n)|>1\}$.

Множини ${\mathrm{\Lambda }}_k$ є відкритими підмножинами у $\mathrm{\Lambda }.$ Також якщо позначити $V({\mathrm{\Lambda }}_k)$ — об'єм відповідної множини, то $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }V({\mathrm{\Lambda }}_k)=0.$ Справді, якщо позначити ${𝒬}_k=\underset{j=k}{\overset{\mathrm{\infty }}{\cup }}{\mathrm{\Lambda }}_j$ то ${𝒬}_k\supset {𝒬}_{k+1}$ і тому $0=V(\mathrm{\varnothing })=V({\cap }_j{𝒬}_j)=\underset{j\to \mathrm{\infty }}{\lim }V({𝒬}_j)$. Оскільки ${\mathrm{\Lambda }}_k\subset {𝒬}_k$ то $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }V({\mathrm{\Lambda }}_k)=0.$

Оскільки функції $f_k(z_2,\dots ,z_n)$ є голоморфними то функція $\log |f_k(z_2,\dots ,z_n)|$ є субгармонічною як функція для кожної пари дійсних аргументів, що відповідають кожній комплексній змінній. Нехай у показниковому записі фіксовані комплексні числа рівні $z_j=r_j{e}^{i{\theta }_j}$ і для всіх $r_j⩽r<1$. Повторно для кожної такої змінної записавши нерівність з означення субгармонічної функції і використавши запис гармонічної функції як розв'язку задачі Діріхле для рівняння Лапласа у крузі зрештою одержуються нерівності:

$\frac{1}{k}\log |f_k(z_2,\dots ,z_n)|⩽\frac{1}{k(2\pi {)}^{n-1}}\int \cdots \underset{\mathrm{\Lambda }}{\int }\prod _{j=2}^n\frac{(1-r_j^2)\log |f_k(e^{i{\theta }_2},\dots ,e^{i{\theta }_2})|}{1-2r_j\cos ({\varphi }_j-{\theta }_j)+r_j^2}d{\theta }_2\dots d{\theta }_n⩽\frac{1}{k(2\pi {)}^{n-1}}\int \cdots \underset{{\mathrm{\Lambda }}_k}{\int }\prod _{j=2}^n\frac{(1-r_j^2)\log |f_k(e^{i{\theta }_2},\dots ,e^{i{\theta }_2})|}{1-2r_j\cos ({\varphi }_j-{\theta }_j)+r_j^2}d{\theta }_2\dots d{\theta }_n.$

Використовуючи нерівності:

$\frac{1-r_j^2}{1-2r_j\cos ({\varphi }_j-{\theta }_j)+r_j^2}⩽\frac{1-r_j^2}{(1-r_j{)}^2}=\frac{1+r_j}{1-r_j}⩽\frac{1+r}{1-r}$

зрештою одержуємо:

$\frac{1}{k}\log |f_k(z_2,\dots ,z_n)|⩽\frac{1}{(2\pi {)}^{n-1}}\left(\frac{k\log 1/\rho }{k}\right){\left(\frac{1+r}{1-r}\right)}^{n-1}\int \cdots \underset{{\mathrm{\Lambda }}_k}{\int }d{\theta }_2\dots d{\theta }_n=\frac{1}{(2\pi {)}^{n-1}}\log \frac{1}{\rho }{\left(\frac{1+r}{1-r}\right)}^{n-1}V({\mathrm{\Lambda }}_k).$

Відповідно для довільного $\epsilon >0$ існує для всіх достатньо великих $k$ виконується нерівність

$\frac{1}{k}\log |f_k(z_2,\dots ,z_n)|⩽\epsilon \log \frac{1}{\rho }=\log \frac{1}{{\rho }^{\epsilon }}.$

Звідси для достатньо великих $k$ і $|z_j|⩽r,j=2,\dots ,n$:

$|f_k(z_2,\dots ,z_n)|⩽\frac{1}{{\rho }^{\epsilon k}}.$

Як наслідок степеневий ряд рівномірно сходиться для будь-яких $|z_j|⩽r<1,j=2,\dots ,n$ і $|z_1|⩽s<{\rho }^{\epsilon }<1$. Але вибираючи $r$ і ${\rho }^{\epsilon }$ (за рахунок вибору як завгодно малого $\epsilon >0$) як завгодно близькими до 1 одержуємо, що ця рівномірна збіжність матиме місце у множинах, що містять будь-яку компактну підмножину відкритого полікруга. Тобто степеневий ряд збігається рівномірно на будь-якій компактній підмножині відкритого полікруга і тому гранична функція буде неперервною у відкритому полікрузі.

Див. також

• Лема Осґуда

Література

• Шаблон:Cite book
• Steven G. Krantz: Function Theory of Several Complex Variables. AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island 1992.