Рівняння Лапласа

Рівня́ння Лапла́са — однорідне лінійне рівняння в часткових похідних другого порядку еліптичного типу.

Δ u = \nabla^{2} u = \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} = 0

.

Функції, які задовольняють рівнянню Лапласа, називаються гармонічними.

Відповідне неоднорідне рівняння називається рівнянням Пуассона.

Інші форми запису рівняння Лапласа

Δ f = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial f}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} f}{\partial ϕ^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} = 0 .

\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial f}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2} \sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (\sin θ \frac{\partial f}{\partial θ}) + \frac{1}{r^{2} \sin^{2} θ} \frac{\partial^{2} f}{\partial φ^{2}} = 0 .

Рівняння Лапласа описує електростатичне поле в просторі без електричних зарядів.
Рівнянням Лапласа описується стаціонарний розподіл температури у просторовому тілі.
Рівнянню Лапласа задовольняє потенціал гравітаційних хвиль на поверхні рідини.