Субгармонічна функція

В математиці субгармонічними і супергармонічними функціями називають важливі класи функцій багатьох дійсних змінних, що є узагальненнями гармонічних функцій і мають широке застосування в теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними, комплексному аналізі, теорії потенціалу.

Означення

Нехай $G\subset {ℝ}^n.$ Функція $u:G\to ℝ\cup \{-\mathrm{\infty }\}$ змінної $x=(x_1,...,x_n)$ називається субгармонічною якщо для неї виконуються умови:

1. $u(x)$ є напівнеперервною зверху в $G;$
2. Якщо $\overline{B(x_0,r)}$ — довільна замкнута куля з центром в $x_0$ і радіусом $r,$ що міститься в $G$ і $h$ — дійснозначна неперервна функція визначена на $\overline{B(x_0,r)},$ що є гармонічною в $B(x_0,r)$ і для якої $u(x)⩽h(x)$ для всіх $x$ на границі $\partial B(x_0,r)$ кулі $B(x_0,r)$ то також $u(x)\le h(x)$ для всіх $x\in B(x_0,r);$
3. $\phi (x)\equiv ̸-\mathrm{\infty }.$

Другу умову можна записати кількома еквівалентними способами, зважаючи на властивості гармонічних функцій. Зокрема в тих же позначеннях умову можна записати через інтеграл на сфері. Існує як завгодно мале число $r,$ таке що

$u(x_0)⩽I(u;x_0,r)=\frac{1}{n{\omega }_n{r}^{n-1}}\underset{\partial B(x_0,r)}{\int }ud\sigma .$

де ${\omega }_n$ — об'єм одиничної кулі в ${ℝ}^n$

Еквівалентно умову можна записати через інтеграл по об'єму кулі:

$u(x_0)⩽J(u;x_0,r)=\frac{1}{{\omega }_n{r}^n}\underset{B(x_0,r)}{\int }udy.$

Функція $u(x)$ називається супергармонічною якщо $-u(x)$ є субгармонічною функцією.

Комплексні змінні

Якщо $u\in C^2(G)$ то вона є субгармонічною тоді і тільки тоді коли оператор Лапласа $\mathrm{\Delta }u$ є невід'ємним.

На комплексній площині функція комплексної змінної називається субгармонічною, якщо вона є субгармонічною функцією двох дійсних змінних (дійсної і уявної частини комплексної змінної). Тоді в позначеннях комплексного аналізу другу умову у визначенні можна записати як:

$u(z)⩽\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}u(z+r{\mathrm{e}}^{i\theta })d\theta ,$

де коло і обмежений ним круг знаходяться в області визначення функції. Подібно поняття субгармонічних і супергармонічних функцій вводиться і для комплексних просторів вищих порядків.

Ріманів многовид

Нехай M — ріманів многовид і $f:M\to ℝ$ є напівнеперервною функцією. f називається субгармонічною якщо для кожної відкритої підмножини $U\subset M$ і довільної гармонічної функції f₁ на U, для якої $f_1\ge f$ на границі множини U, нерівність $f_1\ge f$ виконується всюди на U.

Як і раніше для двічі неперервно диференційовних функцій рівносильною є умова на оператор Лапласа: $\mathrm{\Delta }f\ge 0$.

Властивості

• Функція є гармонічною тоді і тільки тоді, коли вона є одночасно субгармонічною і супергармонічною.
• Якщо $u_1,\dots ,u_k$ є субгармонічними функціями в області $G$ і ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_k$ — додатні дійсні числа, то лінійна комбінація $\sum _{i=1}^k{\alpha }_i{u}_i$ теж є субгармонічною функцією.
• Верхня межа $\sup \{u_i(x):1<i<k\}$ скінченної множини субгармонічних функцій $u_i(x)$ є субгармонічною функцією. Якщо супремум нескінченної множини субгармонічних функцій є напівнеперервною зверху функцією, то він є також субгармонічною функцією.
• Рівномірно збіжна і монотонно спадна послідовності субгармонічних функцій збігаються до субгармонічних функцій.
• Якщо $u(x)$ — субгармонічна функція в $G$, а $\phi (u)$ — опукла неспадна функція на області значень функції $u(x)$ в $G$, або якщо $u(x)$ — гармонічна функція в $G$, а $\phi (u)$ — опукла функція в тій же області значень, то $\phi (u(x))$ — субгармонічна функція в $G$. Зокрема, якщо $u(x)$ — субгармонічна функція в $G$, то $e^{\lambda u(x)},\lambda >0$, і $(u^{+}(x){)}^k,k⩾1,$ де $u^{+}(x)=\max \{u(x),0\}$ є субгармонічними функціями в $G$; якщо $u(x)$ — гармонічна функція в $G$, то $|u(x){|}^k,k⩾1$ — субгармонічна функція в $G$.
• Максимум субгармонічної функції не може досягатися у внутрішній точці її області визначення, якщо ця функція не є константою.Мінімум функції натомість може досягатися у внутрішній точці. Відповідно для супергармонічних функцій у внутрішніх точках області визначення може досягатися максимум функції але не мінімум.
• Якщо $u(x)$ — субгармонічна функція в області $G$ комплексного простору ${ℂ}^n$ і $\phi (w)$ — голоморфне відображення області $G^{\prime }\subset {ℂ}^n$ в $G$, то $u(\varphi (w))$ є субгармонічною функцією в $G^{\prime }.$
• Якщо $u(x)$ — субгармонічна функція у всій площині ${ℝ}^2$, що є обмеженою зверху, то $u(x)=const.$ (в ${ℝ}^n$ при $n⩾3$ аналогічне твердження не є правильним)

Середні значення субгармонічних функцій

• Якщо $u(x)$ є субгармонічною функцією на кільці $r_1⩽r=|x-x_0|⩽r_2,0⩽r_1<r_2$, то визначені вище функції $I(u;x_0,r)$ і $J(u;x_0,r)$ (при $r_1=0$), також $M(u;x_0,r)=\max \{u(x):|x-x_0|=r\}$є опуклими, як функції від $\ln r$ при $n=2$ і $r^{2-n}$при$n⩾3$.
• Якщо $u(x)$ є субгармонічною функцією на кулі$0⩽r=|x-x_0|⩽r_2,$то $I(u;x_0,r)$ і $J(u;x_0,r)$ є неперервними і неспадними функціями від $r$ (вважається $u(x_0)=J(u;x_0,0)=I(u;x_0,0)$) і також для $0⩽r_1⩽r_2:$

$u(x_0)⩽J(u;x_0,r)⩽I(u;x_0,r).$

• Функції $I(u;x,r)$ і $J(u;x,r)$ як функції $x$ при фіксованих інших параметрах є субгармонійними функціями у своїх областях визначення і $J(u;x,r)$ також є неперервною функцією.

Теорема Ріса

Ньютонів потенціал і логарифмічний потенціал невід'ємних мас, взяті зі знаком мінус, є субгармонічними функціями всюди в просторі ${ℝ}^n$.

З іншого боку, однією з основних в теорії субгармонічних функцій є теорема Ріса про локальне представлення довільної субгармонічної функції у вигляді суми гармонічної функції і взятого зі знаком мінус потенціалу.

Якщо $u$ є субгармонічною функцією в області $G$ просторі ${ℝ}^n$, то для кожної компактної підмножини $D\subset G$ справедливим є розклад:

$u(x)=v(x)-\underset{D}{\int }\frac{d\mu (y)}{|x-y{|}^{n-2}},n\ge 3$

і для розмірності 2,

$u(x)=v(x)+\underset{D}{\int }\log |x-y|d\mu (y),$

де $v$ — гармонічна функція, $\mu$ — міра Бореля в $G$.

Якщо $D$ є зв'язаною компактною множиною, то також можна здійснити розклад:

$u(x)=v^{\prime }(x)-\underset{D}{\int }g(x,y)d\mu (y),$

де $v$ — найкраща гармонічна мажоранта, $g(x,y)$ — функція Гріна.

Див. також

• Гармонічна функція

Література

• Πρивалов И. И., Субгармонические функции, М.—Л., 1937;
• Хейман У., Кеннеди П., Субгармонические функции, пер. с англ., М., 1980;
• Rado T., Subharmonic functions, В., 1937;