Верхня та нижня межа

Множина, її верхні межі та супремум.

Верхня та нижня межа (мажоранта та міноранта) — в теорії порядку, це межі підмножини в частково впорядкованій множині.

Визначення

Для підмножини $X$ частково впорядкованої множини $(P,\le )$ :

Міноранта чи нижня межа $X$ — елемент $a\in P$, такий що $\mathrm{\forall }x\in X:a⩽x$.

Мажоранта чи верхня межа $X$ — елемент $b\in P$, такий що $\mathrm{\forall }x\in X:x⩽b$.

Пов'язані визначення

Шаблон:Main Верхньою гранню, точною верхньою межею чи супремумом (Шаблон:Lang-la — найвищий) підмножини $X$, називається найменший елемент $P$, який є мажорантою $X$.

Позначається $\sup X$.

Більш формально:

$S_X=\{b\in P\mid \mathrm{\forall }x\in X:x⩽b\}$ — множина мажорант $X$, тобто елементів $P$, рівних чи більших за всі елементи $X$

$s=\sup (X)⟺s\in S_X\wedge \mathrm{\forall }b\in S_X:s⩽b.$

Нижньою гранню, точною нижньою межею чи інфімумом (Шаблон:Lang-la — найнижчий) підмножини $X$, називається найбільший елемент $P$, який є мінорантою $X$.

Позначається $\inf X$.

Зауваження

• Для підмножини може не існувати міноранти чи мажоранти.
• Для підмножини при наявності мінорант/мажорант може не існувати інфімума/супремума.
• Для підмножини в якої існують інфімум чи супремум, вони є єдиними, але можуть не належати множині.

• Для підмножини в якої існують найменший чи найбільший елементи, то вони є інфімумом та супремумом, відповідно.
• І навпаки, для підмножини $X$:
  • якщо $i=\inf (X)\in X$, то $i$ є найменшим елементом та мінімумом $X$, позначається $i=\underset{x\in X}{\min }x$.
  • якщо $s=\sup (X)\in X$, то $s$ є найбільшим елементом та максимумом $X$, позначається $s=\underset{x\in X}{\max }x$.

Приклади

• На множині всіх раціональних чисел, більших п'яти, не існує мінімуму, проте існує інфінум. $\inf$ такої множини дорівнює п'яти. Інфінум не є мінімумом, так як п'ять не належить цій множині. Якщо ж визначити множину всіх натуральних чисел, більших п'яти, то у такої множини є мінімум і він дорівнює шести. Взагалі кажучи, у будь-якої непорожньої підмножини множини натуральних чисел існує мінімум.
• Для множини $S=\{\frac{1}{k}\mid k\in \mathbb{N}\}=\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots \}$

$\sup S=1$; $\inf S=0$.

• Множина додатних раціональних чисел ${\mathbb{Q}}_{+}=\{x\in \mathbb{Q}\mid x>0\}$ не має точної верхньої грані в $\mathbb{Q}$, точна нижня грань $\inf {\mathbb{Q}}_{+}=0$.
• Множина $X=\{x\in \mathbb{Q}\mid x^2<2\}$ раціональних чисел, квадрат котрих менше двох, не має точної верхньої та нижньої грані в $\mathbb{Q}$, але якщо його розглядати як підмножину множини дійсних чисел, то

$\sup X=\sqrt{2}$ та $\inf X=-\sqrt{2}$.

Теорема про грані

Формулювання: Непорожня множина, обмежена зверху, має верхню грань; обмежена знизу — нижню грань. Тобто існує $a$ та $b$ такі, що

$b=\sup X\{\begin{array}{c}\mathrm{\forall }x\in X\Rightarrow x⩽b\\ \mathrm{\forall }{b}^{\text{'}},b^{\text{'}}<b\Rightarrow \mathrm{\exists }x\in X\wedge x>b^{\text{'}}\end{array}(1.1)$

$a=\inf X\{\begin{array}{c}\mathrm{\forall }x\in X\Rightarrow x⩾a\\ \mathrm{\forall }{a}^{\text{'}},a^{\text{'}}>a\Rightarrow \mathrm{\exists }x\in X\wedge x<a^{\text{'}}\end{array}(1.2)$

Властивості

• З теореми про грані, для будь-якої обмеженої зверху підмножини $ℝ$, існує $\sup$.
• З теореми про грані, для будь-якої обмеженої знизу підмножини $ℝ$, існує $\inf$.
• Дійсне число $s$ є $\sup X$ тоді й лише тоді, коли:
  1. $s$ є верхня грань $X$ тобто для всіх елементів $x\in X$, $x⩽s$;
  2. Для будь-якого $\epsilon >0$ знайдеться $x\in X$, такий, що $x+\epsilon >s$.(тобто до $s$ можна скільки завгодно «близько підібратися» з множини $X$)
• Аналогічне твердження справджується для точної нижньої грані.

Див. також

• Верхня множина
• Двоїстість (теорія порядку)
• Інфімум та супремум
• Найбільший та найменший елемент
• Максимальні та мінімальні елементи

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Биркгоф.Теория решёток
• Шаблон:Бурбакі.Загальна топологія.г1-2