Інфімум та супремум

Інфімум та супремум — в теорії порядку це двоїсті поняття, що узагальнюють поняття мінімума та максимума для підмножини в частково впорядкованій множині.

S

(P, \leq)

:

І́нфімум (точна нижня межа, нижня грань) (Шаблон:Lang-la — найнижчий) — це найбільша нижня межа S. Позначається $\inf S$ .

Супремум (точна верхня межа, верхня грань) (Шаблон:Lang-la — найвищий) — це найменша верхня межа S. Позначається $\sup S$ .

Пов'язані визначення

Міноранта чи нижня межа $X$ — елемент $a \in P$ , такий що $\forall x \in X : a ⩽ x$ .

Мажоранта чи верхня межа $X$ — елемент $b \in P$ , такий що $\forall x \in X : x ⩽ b$ .

Верхньою гранню, точною верхньою межею чи супремумом (Шаблон:Lang-la — найвищий) підмножини $X$ , називається найменший елемент $P$ , який є мажорантою $X$ .

Більш формально:

S_{X} = {b \in P ∣ \forall x \in X : x ⩽ b}

— множина мажорант

X

, тобто елементів

P

, рівних чи більших за всі елементи

X

s = \sup (X) ⟺ s \in S_{X} \land \forall b \in S_{X} : s ⩽ b .

Нижньою гранню, точною нижньою межею чи інфімумом (Шаблон:Lang-la — найнижчий) підмножини $X$ , називається найбільший елемент $P$ , який є мінорантою $X$ .

Для підмножини може не існувати міноранти чи мажоранти.
Для підмножини при наявності мінорант/мажорант може не існувати інфімума/супремума.
Для підмножини в якої існують інфімум чи супремум, вони є єдиними, але можуть не належати множині.

Для підмножини в якої існують найменший чи найбільший елементи, то вони є інфімумом та супремумом, відповідно.
І навпаки, для підмножини X:
- якщо $i = \inf (X) \in X$ , то $i$ є найменшим елементом та мінімумом $X$ , позначається $i = \min_{x \in X} x$ .
- якщо $s = \sup (X) \in X$ , то $s$ є найбільшим елементом та максимумом $X$ , позначається $s = \max_{x \in X} x$ .

...