Істотний інфімум та істотний супремум

Концепції істотного супремуму і істотного інфімуму пов'язані з поняттями супремуму і інфімуму, але пристосовані до теорії міри і функціонального аналізу, де користувач часто працює з твердженнями не чинними для всіх елементів множини, але швидше майже скрізь, тобто, окрім як на множині міри нуль.

Визначення

Нехай $f:X\to ℝ$ буде дійснозначна функція визначена на множині X. Дійсне число a зветься верхньою межею для $f$ якщо $f(x)\le a\mathrm{\forall }x\in X,$ тобто, якщо множина

$f^{-1}(a,\mathrm{\infty })=\{x\in X:f(x)>a\}$

є порожньою. Нехай

$U_f=\{a\in ℝ:f^{-1}(a,\mathrm{\infty })=\mathrm{\varnothing }\}$

буде множина верхніх меж $f.$ Тоді супремум $f$ визначено через

$\sup f=\inf U_f$

якщо множина верхніх меж $U_f$ непорожня і $\sup f=+\mathrm{\infty }$ інакше.

До того ж припустимо, що $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$ — вимірний простір і, для простоти, припустимо, що функція $f$ є вимірною. Число $a$ називають істотною верхньою межею для $f$ якщо вимірна множина $f^{-1}(a,\mathrm{\infty })$ є множиною міри нуль,Шаблон:Efn тобто, якщо $f(x)\le a$ для майже всіх $x\in X.$ Нехай

$U_f^{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}}=\{a\in ℝ:\mu (f^{-1}(a,\mathrm{\infty }))=0\}$

буде множиною істотних верхніх меж. Тоді істотний супремум визначають як

$\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\sup f=\inf U_f^{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}}$

якщо $U_f^{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}}\ne \mathrm{\varnothing }$, і $\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\sup f=+\mathrm{\infty }$ інакше.

Так само визначають істотний інфімум як супремум істотних нижніх меж, що є,

$\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\inf f=\sup \{b\in ℝ:\mu (\{x:f(x)<b\})=0\}$

якщо множина істотних нижніх меж непорожня, і як $-\mathrm{\infty }$ інакше.

Приклади

Розглянемо на дійсній осі міру Лебега і відповідну їй σ-алгебру $\mathrm{\Sigma }.$ Визначимо функцію $f$ через формулу

$f(x)=\{\begin{array}{cc}5,& \text{if }x=1\\ -4,& \text{if }x=-1\\ 2,& \text{ otherwise. }\end{array}$

Супремумом функції є 5, а інфімумом −4. Однак, функція набуває цих значень лише на множинах {1} і {−1} відповідно, обидві міри нуль. which are of measure zero. В інших точках функцію приймає значення 2. Отже істотний супремум і інфімум для цієї функції 2.

Як ще один приклад розглянемо

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^3,& \text{if }x\in \mathbb{Q}\\ \arctan x,& \text{if }x\in ℝ\mathrm{\setminus }\mathbb{Q}\end{array}.$

З точки зору міри Лебега, раціональні числа мають міру нуль, тому тут істотний супремум це $\pi /2,$ а істотний інфімум це $-\pi /2.$

Подивимось на функцію $f(x)=x^3$ визначену на всіх дійсних $x.$ Її істотним супремумом є $+\mathrm{\infty }$ і її істотний інфімум це $-\mathrm{\infty }.$

Властивості

• Якщо $\mu (X)>0$ маємо $\inf f\le \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\inf f\le \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\sup f\le \sup f$. Якщо $X$ міри нуль $\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\sup f=-\mathrm{\infty }$ і $\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\inf f=+\mathrm{\infty }$.
• $\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\sup (fg)\le (\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\sup f)(\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\sup g)$ коли обидва множники праворуч невід'ємні.

Див. також

• Інфімум та супремум

Посилання

• Шаблон:PlanetMath