Міра множини

Неформально, міра — це функція, що відображає множини на невід'ємні дійсні числа, при цьому, надмножини відображаються на більші числа, ніж підмножини.

Міра множини — спільна назва різних типів узагальнень понять евклідової довжини, площі плоских фігур та $n$-вимірного об'єму для загальніших просторів.

Якщо зворотне не вказане явно, то зазвичай йдеться про зліченно-адитивну міру.

Поняття міри виникло в теорії функції дійсної змінної, а звідти перейшло до теорії ймовірностей, теорії динамічних систем, функціонального аналізу та багато інших областей математики.

Визначення

Теорія міри та інтеграла Лебега була розроблена на початку XX ст. у зв'язку з потребами аналізу та теорії функцій. Абстрактний варіант теорії є математичною основою ряду теоретичних і прикладних розділів сучасної математики.

Скінчено-адитивна міра

Нехай задано простір $X$ з виділеним класом підмножин $ℱ$, замкненим щодо скінчених перетинів та об'єднань. Функція $\mu :ℱ\to [0,\mathrm{\infty }]$ називається скінчено-адитивною мірою, якщо вона задовольняє наступним умовам:

1. $\mu (\varnothing )=0$;
2. Якщо $\{E_n{\}}_{n=1}^N\subset ℱ$ — скінчене сімейство попарно неперетинних множин із $ℱ$, тобто $E_i\cap E_j=\varnothing ,i=j$, то

$\mu \left(\bigcup _{n=1}^N{E}_n\right)=\sum _{n=1}^N\mu (E_n)$.

Альтернативне визначення

Функція множини $\mu (A)$ називається мірою, якщо:

• область визначення ${\sigma }_{\mu }$ функції $\mu (A)$ є напівкільце множин.
• значення $\mu (A)\ge 0$
• $\mu (A)$ — адитивна, тобто, для довільного скінченого розкладу $A=A_1\cup A_2\cup \dots \cup A_n$, $A_i\cap A_j=\varnothing$

  буде виконуватись рівність

  $\mu (A)=\sum _{k=1}^n\mu (A_k)$

Система множин $\sigma$ називається напівкільцем, якщо вона містить порожню множину, замкнена у відношенні до утворення перетинів, і якщо з приналежності до $\sigma$ множини $A$ та $A_1\subset A$ випливає можливість представлення множини $A$ у вигляді об'єднання $A=\bigcup _{k=1}^n{A}_k$, де $A_k$ — попарно неперетинаючі множини з $\sigma$, перша з яких є задана множина $A_1$.

Злічено-адитивна міра

Нехай задано простір $X$ з виділеною σ-алгеброю $ℱ$. Функція $\mu :ℱ\to [0,\mathrm{\infty }]$ називається злічено-адитивною (або σ-адитивною) мірою, якщо вона задовольняє наступним вимогам:

1. $\mu (\varnothing )=0$;
2. (σ-адитивність) Якщо $\{E_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\subset ℱ$ — злічене сімейство множин, що попарно не перетинаються з $ℱ$, тобто $E_i\cap E_j=\varnothing ,i=j$, то

$\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_n\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (E_n)$.

Продовження міри

Міра $\mu$ називається продовженням міри $m$, якщо ${ℱ}_m\subset {ℱ}_{\mu }$ і для кожної $A\in {ℱ}_m$ виконується рівність:

$\mu (A)=m(A)$

При цьому, для кожної міри $m(A)$, заданої на деякому напівкільці ${ℱ}_m$ існує єдине продовження $m^{\prime }(A)$, що має як область визначення кільце $ℛ({ℱ}_m)$ (тобто, мінімальне кільце над ${ℱ}_m$).

Примітки

• Довільна злічено-адитивна міра є скінчено-адитивною, але не навпаки.
• Якщо міра всього простору скінчена, тобто $\mu (X)<\mathrm{\infty }$, то така міра називається скінченою. В протилежному випадку міра нескінчена.
• На прямій та двовимірній площині існує нескінчена кількість продовжень міри Лебега з σ-алгебри, породжуваної відкритими підмножинами, на множину всіх множин, що зберігає скінчену адитивність міри. Для жодного з нетривіальних евклідових просторів не існує будь-якого злічено-адитивного розширення міри Лебега на множину всіх його підмножин.

Приклади

• Міра Жордана — приклад скінчено-адитивної міри;
• Міра Лебега — приклад нескінченої міри;
• Імовірність — приклад скінченої міри.

Див. також

• Векторна міра
• Вимірна множина
• Заряд (теорія міри)
• Комплексна міра
• Метричний простір

Джерела

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Колмогоров.Фомин