Сигма-адитивність

Сигма-адитивність або зліченна адитивність функції (часто міри) означеної на підмножинах заданої множини — це абстракція того, як інтуїтивні властивості розміру множини (довжина, площа, об'єм) сумуються коли розглядаємо багато об'єктів. Адитивність (або скінченна адитивність) — слабша умова ніж сигма-адитивність, тобто, сигма-адитивність тягне за собою адитивність.

Адитивність (або скінченна адитивність) функції на множині

Нехай $\mu$ — функція, означена на алгебрі множин $𝒜$ зі значеннями у [−∞, +∞] (див. розширена дійсна пряма). Функція $\mu$ називається адитивною (або скінченно-адитивною), якщо для неперетинних множин A і B з $𝒜$ маємо

$\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).$

(Як наслідок цього адитивна функція не може набувати ані −∞, ані +∞ як значень, бо вираз ∞ − ∞ невизначений.)°

Використовуючи математичну індукцію можна довести, що адитивна функція задовольняє

$\mu \left(\bigcup _{n=1}^N{A}_n\right)=\sum _{n=1}^N\mu (A_n)$

для будь-яких множин $A_1,A_2,\dots ,A_N$ з $𝒜$, які не перетинаються.

σ-адитивна функція на множині

Припустимо, що $𝒜$ це σ-алгебра. Якщо для будь-якої послідовності $A_1,A_2,\dots ,A_n,\dots$ попарно неперетинних множин з $𝒜$, виконується

$\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (A_n)$Шаблон:Math

кажуть, що μ — зліченно-адитивна (або σ-адитивна).
Будь-як σ-адитивна функція також адитивна, але не навпаки.

Приклади

Прикладом σ-адитивної функції може бути функція μ означена на булеані дійсних чисел, так що

$\mu (A)=\{\begin{array}{cc}1& \text{ якщо }0\in A\\ 0& \text{ якщо }0\notin A.\end{array}$

Якщо $A_1,A_2,\dots ,A_n,\dots$ це послідовність неперетинних множин дійсних чисел, тоді або жодна з них не містить 0, або лише одна. У будь-якому разі, рівність

$\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (A_n)$

дотримується.

Адитивна функція, яка не σ-адитивна

Приклад адитивної функції, яка не σ-адитивна, можна отримати розглянувши μ, означену на множинах дійсних чисел заданих такою формулою

$\mu (A)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{k}\cdot \lambda (A\cap (0,k)),$

де λ позначає міру Лебега і lim це банахова границя.

Адитивність цієї функції можна перевірити скориставшись лінійністю границі. Те, що ця функція не σ-адитивна випливає з такої послідовності неперетинних множин

$A_n=[n,n+1)$

для n=0, 1, 2, ... Об'єднання цих множин — це додатні дійсні числа, і μ цього об'єднання — одиниця, тоді як μ кожної окремої множини, це нуль, отже, і сума μ(A_n) також нуль, що дає контрприклад.