Міра Лебега

Міра Лебе́га на ${ℝ}^n$ — міра, що є розширенням міри Жордана на ширший клас множин, була введена Лебегом в 1902 році.

Побудова міри на прямій

Зовнішня міра

Для довільної підмножини $E$ числової прямої можна знайти довільну кількість різних систем скінченної чи зліченної кількості інтервалів, об'єднання яких містить множину $E$. Назвемо такі системи покриттями. Сума довжин інтервалів, що входять в покриття, є невід'ємною і обмежена знизу, отже множина довжин всіх покриттів має точну нижню грань. Ця грань, залежить тільки від множини $E$, і називається зовнішньою мірою:

$m^{\ast }E=\inf \left\{\sum _i{\Delta }_i\right\}.$

Варіанти позначення зовнішньої міри:

$m^{\ast }E=\phi (E)=|E{|}^{\ast }.$

Очевидно, що зовнішня міра довільного інтервала збігається з його довжиною.

властивості зовнішньої міри

• $E_1\subseteq E_2⟹m^{\ast }{E}_1⩽m^{\ast }{E}_2.$
• $E=\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_k⟹m^{\ast }E⩽\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{m}^{\ast }{E}_k.$
• $\mathrm{\forall }E,\epsilon >0\mathrm{\exists }G\supseteq E:m^{\ast }G⩽m^{\ast }E+\epsilon$, де $G$ — відкрита множина. Дійсно, достатньо як $G$ взяти суму інтервалів, що утворюють покриття $E$, таку що $\sum _i{\Delta }_i⩽m^{\ast }E+\epsilon$. Існування такого покриття випливає з визначення точної нижньої грані.

Внутрішня міра

Якщо множина $E$ обмежена, то внутрішньою мірою множини $E$ називається різниця між довжиною сегмента $[a,b]$, що містить $E$ та зовнішньою мірою доповнення $E$ в $[a,b]$:

$m_{\ast }E=(b-a)-m^{\ast }([a,b]\setminus E).$

Для необмежених множин, $m_{\ast }E$ визначається як точна верхня грань $(b-a)-m^{\ast }([a,b]\setminus E)$ по всіх відрізках $[a,b]$.

Вимірні множини

Множина називається вимірною за Лебегом, якщо її зовнішня і внутрішня міри однакові. Тоді їх спільне (однакове) значення називається мірою множини за Лебегом і позначається $mE,\mu E,|E|$ чи $\lambda (E)$.

Приклад невимірної множини

• Множина Віталі — історично перший приклад множини, що не має міри Лебега (невимірна множина). Цей приклад опублікував у 1905 році італійський математик Джузепе Віталі.

Побудова невимірної множини на відрізку була б неможлива без прийняття аксіоми вибору (не можна було б допускати можливість вибирати представника в кожному класі еквівалентності).

Див. також

• Міра Жордана
• Міра Хаусдорфа

Джерела

• Шаблон:Хаусдорф.Теория множеств
• Шаблон:Александров.Введение в теорию множеств и общую топологию