Зовнішня міра

В математиці, зокрема в теорії міри, зовнішня міра — це функція, визначена на всіх підмножинах даної множини з дійсним значенням, що задовольняє кільком додатковим технічним умовам.

Загальна теорія зовнішньої міри була розроблена Каратеодорі з метою забезпечити основу для теорії вимірних множин і зліченно-адитивних мір. Роботи Каратеодорі з зовнішньої міри знайшли чимало застосувань в теорії вимірних множин (зовнішня міра, наприклад, використовується в доведенні фундаментальної теореми Каратеодорі про продовження), і була використана Гаусдорфом для визначення метричного інваріанту, що узагальнює розмірність, зараз він зветься Гаусдорфовою розмірністю.

Міра узагальнює довжину, площу і об'єм, але також находить застосування для багатьох абстрактніших і незвичних речей, крім інтервалів або ж куль в ${ℝ}^3$.

Випадок числової прямої

Для довільної підмножини $E$ числової прямої можна знайти як завгодно багато різних систем зі скінченної чи зліченної кількості інтервалів, об'єднання яких містить множину $E$. Назвемо такі системи покриттями. Оскільки сума довжин інтервалів, що складають будь-яке покриття, є величиною невід'ємною, вона обмежена знизу, і, значить, множина довжин всіх покриттів має точну нижню межу. Ця грань, залежна тільки від множини $E$, і називається зовнішньою мірою:

$m^{*}E=\inf \left\{\sum _i{\mathrm{\Delta }}_i\right\}$

Варіанти позначення зовнішньої міри:

$m^{*}E=\phi (E)=|E{|}^{*}$

Формальне означення

Нехай $X$ — фіксована універсальна множина.

Зо́внішньою мі́рою називається функція ${\mu }^{*}:2^X⟶[0,+\mathrm{\infty }]$ така, що

1. ${\mu }^{*}(\varnothing )=0$;
2. $\mathrm{\forall }A\subseteq X,\mathrm{\forall }{A}_n\subset X,n⩾1,A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n:{\mu }^{*}(A)⩽\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }^{*}(A_n)$.

Нехай $\mu$ — міра, визначена на кільці $K$. Зовнішньою мірою, породженою мірою $\mu$, називається функція ${\mu }^{*}:2^X⟶[0,+\mathrm{\infty }]$ така, що

1. ${\mu }^{*}(A)=\inf \{\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (A_n)\},A_n\subset K,n⩾1,A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n$ якщо хоч одне таке покриття множини $A$ існує;
2. ${\mu }^{*}(A)=+\mathrm{\infty }$ в іншому випадку.

Теорема. Зовнішня міра ${\mu }^{*}$, породженна мірою $\mu$, є зовнішньою мірою.

$⊳$ Перевіримо пункт перший з означення зовнішньої міри. $\mu ⩾0\Rightarrow {\mu }^{*}⩾0$. ${\mu }^{*}$ визначена на $2^X$.

$\varnothing \in K:{\mu }^{*}(\varnothing )⩽\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (\varnothing )=0\Rightarrow {\mu }^{*}(\varnothing )=0$.

Перевіримо другий пункт означення. Нехай $A\subset \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n$. Якщо існує така множина $A_n$ з покриття, що ${\mu }^{*}(A_n)=+\mathrm{\infty }$, то нерівність справджується. Нехай далі всі множини з покриття такі, що ${\mu }^{*}(A_n)<+\mathrm{\infty },\mathrm{\forall }n⩾1$. Візьмемо довільне $\epsilon >0$, за означенням точної нижньої межі

$\mathrm{\forall }n⩾1\mathrm{\exists }{B}_{n_k}\in K,k⩾1,A_n\subseteq \bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_{n_k}:{\mu }^{*}(A_n)>\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_{n_k}-\frac{\epsilon }{2^n}$.

Тоді

$\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_{n_k}\supseteq \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\supseteq A$.

Оскільки $\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_{n_k}$ є зліченним об'єднанням елементів кільця $K$, то

${\mu }^{*}(A)⩽\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (B_{n_k})<\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}({\mu }^{*}(A_n)+\frac{\epsilon }{2^n})=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }^{*}(A_n)+\epsilon ,\epsilon ⟶0+$. $⊲$

Властивості зовнішньої міри

Властивості зовнішньої міри ${\mu }^{*}$:

• $\mathrm{\forall }n⩾1,A\subseteq \bigcup _{k=1}^n{A}_k:{\mu }^{*}(A)⩽\sum _{k=1}^n{\mu }^{*}(A_k)$.

$⊳$ Дійсно,

$A\subseteq \bigcup _{k=1}^n{A}_k\cup \varnothing \cup \varnothing \cup \cdots \Rightarrow {\mu }^{*}(A)⩽\sum _{k=1}^n{\mu }^{*}(A_k)+{\mu }^{*}(\varnothing )+{\mu }^{*}(\varnothing )+\cdots =\sum _{k=1}^n{\mu }^{*}(A_k)$. $⊲$

• $A\subseteq B\Rightarrow {\mu }^{*}(A)⩽{\mu }^{*}(B)$ (монотонність).

$⊳$ Випливає з попередньої властивості при $n=1$. $⊲$

${\mu }^{*}$ - вимірні множини

Нехай ${\mu }^{*}$ — деяка зовнішня міра визначена на підмножинах множини $X$. Тоді множини $E\subset X$, такі що для всіх $A\subset X$ виконується рівність:

${\mu }^{*}(A)={\mu }^{*}(A\cap E)+{\mu }^{*}(A\cap E^{\text{'}}).$

називаються ${\mu }^{*}$ - вимірними. ${\mu }^{*}$ - вимірні множини утворюють σ-кільце, а функція ${\mu }^{*}$ визначена на елементах цього σ-кільця є мірою, що називається мірою породженою ${\mu }^{*}$. Якщо зовнішня міра ${\mu }^{*}$ породжена деякою мірою $\mu$ визначеною на кільці $K$ то $\bar{\mu }$ буде продовженням міри $\mu$ (де $\bar{\mu }$ визначена вище міра породжена ${\mu }^{*}$).

Якщо визначити $\stackrel{*}{\stackrel{‾}{\mu }}$ деяка зовнішня міра породжена мірою $\bar{\mu }$ то ${\mu }^{*}=\stackrel{*}{\stackrel{‾}{\mu }}$ тоді й лише тоді коли сама зовнішня міра ${\mu }^{*}$ є породжена деякою мірою $\mu$.

Див. також

• Теорема Каратеодорі про продовження міри

Література

• Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла Київ, 1989
• Халмош П.Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953