Верхня множина

Верхня множина

Верхня множина (замкнена вверх множина) — підмножина $S$ частково впорядкованої множини $(P,\le )$, яка задовольняє умову:

$\mathrm{\forall }x\in S,y\in P:x\le y\Rightarrow y\in S.$

Двоїстим поняттям є — нижня множина.

Властивості

Булеан множини $\{1,2,3,4\}.$ верхня множина $\uparrow \{1\}$ позначена зеленим. Вона є простим фільтром.

• Перетин верхніх множин є верхньою множиною.
• Доповнення верхньої множини є нижньою множиною і навпаки.
• Сімейство всіх нижніх множин (верхніх множин) впорядкованих за включенням утворює повну ґратку.
• Найменша верхня множина підмножини Y позначається ↑Y.

Див. також

• Спрямована множина
• Антиланцюг
• Ідеал (порядок)
• Фільтр (порядок)

Джерела

• Шаблон:Биркгоф.Теория решёток