Похідна

Графік функції, що позначено чорним кольором, та дотична до нього (червоний колір). Значення тангенса кута нахилу дотичної є значенням похідної у вказаній точці.

Похідна́ (заст. витвірна́) — основне поняття диференціального числення, що характеризує швидкість змінювання функції. Визначається як границя відношення приросту функції до приросту її аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля (якщо така границя існує). Функцію, що має скінченну похідну, називають диференційовною.

Процес знаходження похідної функції називається диференціюва́нням. Зворотним до диференціювання є інтегрування — процес знаходження первісної.

Означення похідної

Нехай в деякому околі точки Шаблон:Math визначена функція Шаблон:Math. Якщо ми візьмемо довільне число Шаблон:Math в цьому околі, то приріст аргументу (позначається Шаблон:Math) в цьому випадку визначається, як Шаблон:Math, а приріст функції (Шаблон:Math) — як Шаблон:Math. Тоді, якщо існує границя $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$, то вона називається похідною функції Шаблон:Math в точці Шаблон:Math.

Похідною функцією даної функції називається функція, що в будь-якій точці області визначення дорівнює похідній даної функції в цій точці.

Диференціювання та похідна

(Натисніть для більшого зображення). В кожній точці, похідна функції $f(x)=1+x\sin x^2$ дорівнює нахилу лінії, яка дотична до кривої. Коли похідна додатня — дотична зелена, коли від'ємна — дотична червона, а коли дорівнює нулю — чорна.

Диференціювання — це метод обчислення співвідношення приросту залежної змінної Шаблон:Math по відношенню до приросту незалежної змінної Шаблон:Math. Це співвідношення приростів називається похідною функції Шаблон:Math по змінній Шаблон:Math. Якщо говорити більш точно, залежність Шаблон:Math від Шаблон:Math означає, що Шаблон:Math функція від Шаблон:Math. Ця функціональна залежність часто позначається Шаблон:Math, де Шаблон:Math позначає функцію. Якщо Шаблон:Math та Шаблон:Math дійсні числа, і якщо графік функції Шаблон:Math зображено відносно Шаблон:Math, похідна дорівнює нахилу дотичної до цього графіка в кожній точці.

Найпростіший випадок коли Шаблон:Math — лінійна функція від Шаблон:Math, це означає що графік функції Шаблон:Math відносно Шаблон:Math пряма лінія. В такому випадку, Шаблон:Math, для дійсних чисел Шаблон:Math та Шаблон:Math, і нахил Шаблон:Math визначається так

$m=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$

де символ Шаблон:Math (грецька літера у верхньому регістрі дельта) — це є скорочення для «зміни в». Ця формула справедлива тому, що

Шаблон:Math.

З цього випливає, що Шаблон:Math.

Отримали точне значення нахилу прямої лінії. Якщо функція Шаблон:Math не лінійна (тобто графік функції не пряма лінія), тоді приріст Шаблон:Math поділений на приріст Шаблон:Math змінюється: диференціювання це спосіб обчислення точного значення відношення приростів для будь-якого значення Шаблон:Math.

Ідея полягає в тому (див. малюнки 1—3), щоб обчислити відношення приростів як граничну величину Шаблон:Math коли Шаблон:Math стає нескінченно малим.

Якщо використати позначення Лейбніца, тоді нескінченно малий приріст Шаблон:Math позначається як Шаблон:Math, а похідна функції Шаблон:Math по змінній Шаблон:Math записується:

$\frac{dy}{dx}$

виглядає як відношення двох нескінченно малих величин. (Цей вираз читається так: «похідна функції Шаблон:Math по змінній Шаблон:Math» або «де ігрек по де ікс».)

Пояснення визначення

Нехай Шаблон:Math — функція дійсних чисел. В класичній геометрії, дотична до графіка функції Шаблон:Math для дійсного числа Шаблон:Math була єдина лінія через точку Шаблон:Math, що не перетинається з графіком функції Шаблон:Math трансверсально, це означає що ця лінія не проходить крізь графік. Похідна функції Шаблон:Math по змінній Шаблон:Math в точці Шаблон:Math, з геометричної точки зору, це нахил дотичної лінії до графіка функції Шаблон:Math в точці Шаблон:Math. Нахил дотичної дуже близький до нахилу лінії, що проходить крізь точку Шаблон:Math та іншу близьку точку на графіку, наприклад Шаблон:Math. Такі лінії називаються січними. Значення Шаблон:Math близьке до нуля дає добре наближення для нахилу дотичної, а чим менше значення Шаблон:Math, в загальному випадку, тим краще буде наближення. Нахил Шаблон:Math січної лінії дорівнює різниці значень Шаблон:Math для цих точок поділити на різницю значень Шаблон:Math, тобто

$m=\frac{\mathrm{\Delta }f(x)}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$

Цей вираз — це відношення приростів Ісаака Ньютона. Похідна — це значення відношення приростів у випадку коли січні лінії наближаються до дотичної. Щиро кажучи, похідна функції Шаблон:Math в точці Шаблон:Math це границя:

$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

відношення приростів коли Шаблон:Math наближається до нуля, якщо така границя існує. Якщо границя існує тоді Шаблон:Math — диференційовна в точці Шаблон:Math. Тут Шаблон:Math одне з кількох можливих позначень похідної (див. нижче)

Запишемо еквівалентний вираз, для похідної справедлива рівність

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)-f^{\prime }(a)\cdot h}{h}=0,$

що також піддається інтуїтивному розумінню (див. рис. 1), де дотична лінія Шаблон:Math в точці Шаблон:Math дає найкраще лінійне наближення

$f(a+h)\approx f(a)+f^{\prime }(a)h$

для Шаблон:Math біля точки Шаблон:Math (наприклад, для малих Шаблон:Math). Якщо підставити Шаблон:Math замість Шаблон:Math у відношення приростів то отримаємо ділення на нуль, отже нахил дотичної лінії не можна обчислити таким способом. Натомість запишемо Шаблон:Math, відношення приростів як функцію від Шаблон:Math:

$Q(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$

Шаблон:Math — це нахил січної лінії між точками Шаблон:Math та Шаблон:Math. Якщо Шаблон:Math — неперервна функція, тобто якщо графік функції не має розривів, тоді Шаблон:Math також неперервна функція починаючи з точки Шаблон:Math. Якщо існує границя $\underset{h\to 0}{\lim }Q(h)$, тобто якщо існує спосіб обчислити значення для Шаблон:Math, це означає що графік функції Шаблон:Math неперервний, тоді функція Шаблон:Math диференційовна в точці Шаблон:Math, і її похідна в точці Шаблон:Math дорівнює Шаблон:Math.

На практиці, існування неперервного продовження відношення приростів Шаблон:Math в точці Шаблон:Math показують по-іншому: міняють чисельник таким чином щоб скоротити Шаблон:Math у знаменнику. Цей процес може бути довгим та нудним для складних функцій, тож в таких випадках використовують багато спрощень.

Приклад

Квадратна функція Шаблон:Math — диференційовна в точці Шаблон:Math і її похідна в цій точці дорівнює Шаблон:Math. Цього результату можна досягнути, якщо обчислити границю відношення приростів Шаблон:Math при Шаблон:Math прямує до нуля:

$f^{\prime }(3)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(3+h{)}^2-9}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{9+6h+h^2-9}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{6h+h^2}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }6+h.$

Тепер можемо обчислити границю, якщо підставимо замість Шаблон:Math нуль:

$\underset{h\to 0}{\lim }6+h=6+0=6.$

Отже, нахил графіку квадратної функції в точці Шаблон:Math дорівнює Шаблон:Math, а її похідна в точці Шаблон:Math дорівнює Шаблон:Math. Узагальнюючи, якщо провести схожі обчислення то отримаємо, що квадратна функція в точці Шаблон:Math дорівнює Шаблон:Math.

Неперервність і диференційованість

Ця функція не має похідної у вказаній точці, оскільки функція не є неперервна в цій точці.

Якщо Шаблон:Math — диференційовна в точці Шаблон:Math, тоді Шаблон:Math також має бути неперервна в точці Шаблон:Math. Для прикладу, виберемо точку Шаблон:Math і нехай Шаблон:Math буде кроковою функцією, що дорівнює Шаблон:Math, для всіх Шаблон:Math менших ніж Шаблон:Math і дорівнює іншому значенню, скажімо Шаблон:Math, для всіх Шаблон:Math, які більші або дорівнюють Шаблон:Math. Шаблон:Math не має похідної в точці Шаблон:Math. Якщо Шаблон:Math — від'ємне, тоді Шаблон:Math знаходиться на нижній сходинці функції, тоді січна лінія від Шаблон:Math до Шаблон:Math дуже круто піднімається вгору і якщо Шаблон:Math прямує до нуля тоді нахил лінії прямує до нескінченності. Якщо Шаблон:Math додатне, тоді Шаблон:Math на верхній сходинці і січна лінія від Шаблон:Math до Шаблон:Math має нахил, що дорівнює нулю. Відповідно січні лінії не утворюють єдиний нахил, отже границя від відношення приростів не існує.

Функція абсолютної величини є неперервна, але від неї не можна отримати похідну в точці Шаблон:Math, оскільки нахил дотичної наближується до різних значень з різних боків від даної точки.

Проте якщо функція неперервна в точці, тоді вона не обов'язково диференційовна в цій точці. Наприклад, функція абсолютної величини Шаблон:Math є неперервною в точці Шаблон:Math, але не є диференційовною в цій точці. Якщо Шаблон:Math додатне, тоді нахил січної лінії від Шаблон:Math до Шаблон:Math дорівнює одиниці, якщо Шаблон:Math від'ємне, тоді нахил січної лінії від Шаблон:Math до Шаблон:Math дорівнює Шаблон:Math. На графіку цю точку видно як «зубець» в точці Шаблон:Math. Навіть функції з графіком без «зубців» не є диференційовані в точці де дотична лінія є вертикальна: наприклад функція Шаблон:Math не є диференційовною в точці Шаблон:Math.

Підведемо підсумки: щоб отримати похідну від функції Шаблон:Math необхідна умова щоб функція Шаблон:Math була неперервною, але тільки цього не достатньо.

Більшість функцій, що зустрічаються на практиці мають похідні у всіх точках, або майже у всіх точках. Раніше на початку вивчення математичного аналізу, багато математиків припускали, що неперервна функція диференційовна в більшості точок. Для м'яких умов, наприклад якщо маємо монотонну функцію або Ліпшицеву функцію це формулювання справедливе. Проте в 1872 Веєрштрас знайшов перший приклад функції, яка неперервна усюди, але не є диференційованою в жодній точці. Ця функція відома як функція Веєрштраса. В 1931 році Стефан Банах довів, що множина функцій, які мають похідну хоча б в якійсь точці, є множиною першої категорії в просторі всіх неперервних функцій.

Позначення

Шаблон:Main Похідна позначається як $f^{\prime }(x)$, що вимовляється «еф-штрих від ікс».

Функція, що має скінченну похідну в точці Шаблон:Math, зветься диференційованою в точці Шаблон:Math.

Похідна також позначається, як відношення диференціалів $\frac{df}{dx}$. У фізиці для позначення похідних по часу використовують крапку над змінною, наприклад $\dot{q}=\frac{dq}{dt}$.

Позначення Лейбніца

Позначення похідної запропоноване Лейбніцом було одним з найперших. Воно широко використовується дотепер. Якщо вираз Шаблон:Math розглядається як функціональна залежність між залежною і незалежною змінними. Тоді перша похідна позначається як:

$\frac{dy}{dx},\frac{df}{dx}(x)$, або $\frac{d}{dx}f(x),$

похідні вищого порядку позначаються таким чином

$\frac{d^{n}y}{d{x}^n},\frac{d^{n}f}{d{x}^n}(x)$, або $\frac{d^n}{d{x}^n}f(x)$

для похідної Шаблон:Math-го порядку Шаблон:Math (по змінній Шаблон:Math). Це є скорочення для багаторазового застосування оператора похідної. Наприклад,

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right).$

Через позначення Лейбніца ми можемо записати похідну функції Шаблон:Math в точці Шаблон:Math двома різними способами:

${\frac{dy}{dx}|}_{x=a}=\frac{dy}{dx}(a).$

Позначення Лейбніца дає змогу вказувати змінну диференціювання (в знаменнику). Це особливо важливо для часткового диференціювання. В такому позначенні також легше запам'ятати ланцюгове правило:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}.$

Позначення Лагранжа

Позначення Лагранжа одне з найпоширеніших сучасних позначень для диференціювання, що вперше використав Жозеф-Луї Лагранж. Для позначення похідної використовують знак штрих, таким чином похідна функції Шаблон:Math позначається Шаблон:Math чи просто Шаблон:Math подібним чином друга та третя похідна позначаються

$(f^{\prime }{)}^{\prime }=f^{″}$   and   $(f^{″}{)}^{\prime }=f^{‴}.$

Починаючи звідси деякі автори застосовують римські цифри:

$f^{\mathrm{I}\mathrm{V}}$

для четвертої похідної, тоді як інші автори ставлять цифру порядку похідної в дужки:

$f^{(4)}$

Останній запис узагальнює позначення Шаблон:Math для похідної функції Шаблон:Math Шаблон:Math-го порядку — таке позначення особливо зручне коли ми говоримо про похідну як про функцію, в цьому випадку застосування позначення Лейбніца може бути надто громіздким.

Позначення Ньютона

Шаблон:Main Позначення Ньютона для диференціювання, також називається точкове позначення, ставлять крапку над назвою функції для позначення похідної. Якщо Шаблон:Math, тоді

$\dot{y}$   і   $\ddot{y}$

означає відповідно першу та другу похідну функції Шаблон:Math по змінній Шаблон:Math. Таке позначення застосовується майже виключно для похідних за часом, тобто незалежна змінна функції є часом. Воно дуже поширене у фізиці і математичних дисциплінах пов'язаних з фізикою, наприклад диференціальні рівняння. Хоча таке позначення стає проблематичним у користуванні для похідних високого порядку, на практиці потрібні тільки кілька перших похідних.

Обчислення похідної

Похідну функції можна, теоретично, обчислювати використовуючи границю відношення приростів. На практиці, достатньо знати похідні обмеженої кількості простих функцій, тоді можна обчислити складніші випадки за допомогою правил диференціювання.

Похідні простих функцій

Шаблон:Main В більшості випадків для того щоб обчислити похідну потрібно знати похідні певних поширених функцій. Нижче наведено неповний перелік з похідних деяких найуживаніших функцій однієї дійсної змінної.

• Степенева функція: Якщо

$f(x)=x^r$,

де Шаблон:Math — будь-яке дійсне число, то

$f^{\prime }(x)=r{x}^{r-1}$,

для будь-яких випадків коли визначена функція. Наприклад, якщо Шаблон:Math, то

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$.

Тут функція визначена тільки для додатних Шаблон:Math. Якщо Шаблон:Math, це правило повторює правило константи.

• Показникова та логарифмічна функції:

$(e^x{)}^{\prime }=e^x$

$(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$

$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x},x>0$

$({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$

• Тригонометричні функції:

$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x.$

$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x.$

$(\mathrm{tg}x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$

• Обернені тригонометричні функції:

$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$

$(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$

$(\mathrm{arctg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}.$

Приклад знаходження похідної за визначенням

Нехай є функція Шаблон:Math, де Шаблон:Math — деяка константа. Тоді при будь-якому Шаблон:Math та при будь-якому Шаблон:Math зміна (приріст) функції дорівнюватиме нулю, отже і похідна такої функції дорівнюватиме нулю.

Похідні вищих (старших) порядків

Поняття похідної довільного порядку задається рекурентно:

• похідна нульового порядку — сама функція
• похідна Шаблон:Math-го порядку для натурального Шаблон:Math, що більше Шаблон:Math, — похідна похідної Шаблон:Math-го порядку

Іноді замість «похідна Шаблон:Math-го порядку» говорять «Шаблон:Math-а похідна».

Похідна Шаблон:Math-го порядку функції Шаблон:Math зазвичай позначається як Шаблон:Math

• якщо Шаблон:Math мале (1, 2, 3) — то використовується відповідна кількість рисок, Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math, вимовляється як «еф-штрих від ікс»; про другу — «еф-два-штрихи від ікс».
• Можна зустріти історичне позначення похідної за допомогою римської системи числення (перша похідна: Шаблон:Math, друга: Шаблон:Math, шістнадцята: Шаблон:Math.
• В фізиці також зустрічається позначення похідної другого порядку по часу у вигляді двох крапок над змінною: $\ddot{q}$.

Геометричний зміст похідної

Значення похідної $f^{\prime }(x_0)$ функції $f$ у точці $x_0$ дорівнює значенню кутового коефіцієнта дотичної до кривої $y=f(x)$ у точці з абсцисою $x_0$.

Рівняння дотичної до кривої $y=f(x)$ у точці $M(x_0,y_0)$ має вигляд:

$y=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$

Фізичний зміст похідної

Похідна від шляху за часом дорівнює миттєвій швидкості руху матеріальної точки. Похідна від миттєвої швидкості руху матеріальної точки дорівнює миттєвому прискоренню.

Див. також

• Первісна
• Диференційовна функція
• Розділена різниця
• Часткова похідна
• Формальне диференціювання

Посилання

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Банах.Диференціальне та інтегральне числення
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Клепко ВМ
• Шаблон:Клепко ВМ
• FIZMA.neT - математика онлайн