Дотична

Дотична (червона) до кривої

У геометрії, доти́чна пряма́ (або просто доти́чна) до кривої в точці — пряма, яка проходить через точку кривої і збігається з нею в цій точці з точністю до першого порядку.

Кажучи загальними словами, дотична пряма — це пряма, що найкраще наближає криву в околі заданої точки. Можна дотичну пряму визначити, як граничне положення січної.

Історія

Евклід робив кілька посилань на дотичну (Шаблон:Lang ephaptoménē) до кола в третій книзі «Начал» (бл. 300 р. до н. е.). У своєму творі «Конічні перетини» (бл. 225 р. до н. е.), Аполлоній визначає дотичну як таку пряму, що між нею і кривою не може лежати жодна інша пряма.

Архімед (бл. 287—212 до н. е.) знайшов дотичну до архімедової спіралі, розглядаючи шлях точки, що рухається по кривій.

У 1630-х роках П'єр Ферма розробив техніку для знаходження дотичних та розв'язування інших задач з диференціального та інтегрального числення й використав її для обчислення дотичних до параболи. Ця техніка подібна до того, як взяти різницю між Шаблон:Math і Шаблон:Math та поділити її на Шаблон:Mvar. Незалежно від нього, Рене Декарт використовував свій метод нормалей, заснований на спостереженні, що радіус кола завжди перпендикулярний до дотичної кола в точці, до якої він проведений.

Ці методи призвели до розвитку диференціального числення в XVII столітті. Багато людей зробили свій внесок. Шаблон:Нп знайшов загальний метод побудови дотичних, розглядаючи криву як таку, що описується рухомою точкою, рух якої є результатом кількох простіших рухів. Шаблон:Нп та Шаблон:Нп знайшли алгебраїчні алгоритми для пошуку дотичних. Подальші розробки включали роботи Джона Валліса та Ісаака Барроу, які використовувалися для створення теорії Ісаака Ньютона та Ґотфріда Ляйбніца.

У 1828 році дотична визначалася як «пряма лінія, яка дотикається до кривої, але при цьому не перетинає її». Це старе визначення не дозволяє точкам перегину мати дотичну. Від нього відмовилися, і сучасні визначення еквівалентні означенню Лейбніца, який визначив дотичну як пряму, що проходить через пару нескінченно близьких точок кривої; в сучасній термінології це виражається так: дотичною до кривої в точці Шаблон:Mvar називається граничне положення січної, коли дві точки, в яких вона перетинає дану криву, прямують до точки Шаблон:Mvar.

Дотична до кривої на площині

В кожній точці, пряма дотикається до кривої. Її кутовий коефіцієнт дорівнює похідній; області, де похідна додатна, від'ємна, а також рівна нулю позначені зеленим, червоним і чорним кольорами відповідно.

Якщо крива є графіком неперервно диференційовної функції Шаблон:Math, тобто її можна задати рівнянням $y=f(x),$ то рівняння її дотичної в точці $P(x_0,y_0)$ має наступний вигляд:

$y=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+f(x_0),$

де $f^{\prime }(x_0)$ — значення похідної функції Шаблон:Math у точці Шаблон:Math. Причому $f^{\prime }(x_0)$ є кутовим коефіцієнтом даної дотичної.

Нехай крива задана неявно, а саме через рівняння $F(x,y)=0,$ причому в точці $P(x_0,y_0)$ функція Шаблон:Mvar має неперервні частинні похідні $F_x$ й $F_y$, значення яких в цій точці одночасно не дорівнюють нулю. Тоді рівняння її дотичної в точці Шаблон:Mvar буде таким:

$F_x(x_0,y_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0)(y-y_0)=0.$

Якщо крива має регулярну параметризацію, тобто її можна задати вектор-функцією $r(t)=(x(t),y(t)),$ де Шаблон:Mvar та Шаблон:Mvar — неперервно диференційовні функції, і причому одночасно не дорівнюють нулю, то дотична в точці Шаблон:Mvar, яка відповідає значенню параметра Шаблон:Math, має наступне векторно-параметричне рівняння:

$R(t)=r(t_0)+r^{\prime }(t_0)\cdot t,$

де $r^{\prime }(t_0)=(x^{\prime }(t_0),y^{\prime }(t_0))$ — дотичний вектор кривої (напрямний вектор дотичної).

Дотичні до кривих другого порядку

Крива	Рівняння кривої	Рівняння дотичної в точці Шаблон:Math
Коло	$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$	$(x_0-a)(x-x_0)+(y_0-b)(y-y_0)=0$
Парабола	$y^2=2px$	$y_{0}y=p(x+x_0)$
Еліпс	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$	$\frac{x_{0}x}{a^2}+\frac{y_{0}y}{b^2}=1$
Гіпербола	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$	$\frac{x_{0}x}{a^2}-\frac{y_{0}y}{b^2}=1$

Дотична до кривої у просторі

Якщо крива у просторі має регулярну параметризацію, то її аналогічно до кривої на площині можна задати вектор-функцією $r(t)=(x(t),y(t),z(t)),$ де Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar та Шаблон:Mvar — неперервно диференційовні функції, які одночасно не дорівнюють нулю. Тоді дотична до цієї кривої в точці Шаблон:Mvar, яка відповідає значенню параметра Шаблон:Math, має векторно-параметричне рівняння $R(t)=r(t_0)+r^{\prime }(t_0)\cdot t,$ де $r^{\prime }(t_0)=(x^{\prime }(t_0),y^{\prime }(t_0),z^{\prime }(t_0))$ — дотичний вектор кривої. Також ця дотична має таке канонічне рівняння:

$\frac{x-x(t_0)}{x^{\prime }(t_0)}=\frac{y-y(t_0)}{y^{\prime }(t_0)}=\frac{z-z(t_0)}{z^{\prime }(t_0)}.$

Нехай крива задана неявно, тобто через систему рівнянь

$\{\begin{array}{c}F(x,y,z)=0\\ \mathrm{\Phi }(x,y,z)=0\end{array},$

де $F$ та $\mathrm{\Phi }$ — неперервно диференційовні функції, для яких $[\mathrm{\nabla }F,\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }]\ne 0,$ де квадратні дужки позначають векторний добуток, а $\mathrm{\nabla }F=(F_x,F_y,F_z)$ — градієнт функції Шаблон:Mvar. Тоді дотична в точці $P(x_0,y_0,z_0)$ задається наступною системою рівнянь:

$\{\begin{array}{c}{F}_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0\\ {\mathrm{\Phi }}_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+{\mathrm{\Phi }}_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+{\mathrm{\Phi }}_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0\end{array}.$

Причому $T=[\mathrm{\nabla }F,\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }](x_0,y_0,z_0)$ є напрямним вектором цієї дотичної. Звідси її канонічне рівняння має такий вигляд:

$\frac{x-x_0}{w_1}=\frac{y-y_0}{w_2}=\frac{z-z_0}{w_3},$

де Шаблон:Math, Шаблон:Math та Шаблон:Math — координати вектора Шаблон:Mvar.

Дотична площина до поверхні

Дотична площина до сфери

Дотичною площиною до поверхні в точці $P(x_0,y_0,z_0)$, де поверхню можна задати таким рівнянням $F(x,y,z)=0,$ що Шаблон:Mvar — неперервно диференційована функція, причому $\mathrm{\nabla }F\ne 0$ в точці Шаблон:Mvar, називається площина, яка утворена дотичними прямими до кривих, що лежать на поверхні та проходять через точку Шаблон:Mvar.

Рівняння цієї площини має наступний вигляд:

$F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0.$

Причому $\mathrm{\nabla }F$ в точці Шаблон:Mvar є напрямним вектором нормалі до дотичної площини.

Дотичний простір до гладкого многовиду

Шаблон:Main Поняття дотичної можна узагальнити на довільний гладкий многовид. Дотичним простором до гладкого многовиду в деякій точці називається множина усіх дотичних векторів в цій точці. Причому ця множина утворює лінійний простір, розмірність якого дорівнює розмірності гладкого многовиду.

Див. також

• Тригранник Френе
• Метод дотичних
• Стичне коло
• Стична площина

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Борисенко.Диференціальна геометрія і топологія
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Посилання

• Шаблон:УСЕ-4
• Шаблон:Springer
• Шаблон:MathWorld