Площина

Дві площини, що перетинаються

Площина́ — одне з основних понять геометрії. У систематичному викладенні геометрії поняття площини зазвичай сприймають як первісне, яке лише опосередковано визначається аксіомами геометрії. Рівняння площини вперше трапляється в А. К. Клеро (1731), рівняння площини у відрізках, вочевидь, вперше трапяється в Ламе (1816—1818), нормальне рівняння увів (1861).

Деякі характерні властивості площини

• Площина — поверхня, яка повністю містить кожну пряму, що сполучає її довільні точки;
• Площина — множина точок, рівновіддалених від двох заданих.

Площини в тривимірному Евклідовому просторі

Визначення на основі точок і прямих, що належать площині

В Евклідовому просторі будь-якої вимірності площина зазвичай визначається за допомогою:

• Трьох не-колінеарних точок (точки не розташовані на одній прямій).
• Прямою і точкою, що не належить цій прямій.
• Двома різними прямими, що перетинаються.
• Двома паралельними прямими.

Властивості

Наступні твердження справедливі для тривимірного Евклідового простору, але не для більших розмірностей, хоча вони мають аналогії за вищих розмірностей:

• Дві різні площини є або паралельними, або перетинаються по прямій.
• Пряма може бути або паралельною до площини, або перетинає її в єдиній точці, або вона розташована на площині.
• Дві різні прямі, перпендикулярні до однієї площини, є паралельними одна до одної.
• Дві різні площини, перпендикулярні до одної прямої, є паралельними одна до одної.

Рівняння площини

Площина — алгебрична поверхня першого порядку: в декартовій системі координат площина може бути задана рівнянням першого степеня.

• Загальне (повне) рівняння площини

$Ax+By+Cz+D=0(1)$

де $A,B,C$ та $D$ — сталі, при чому $A,B$ і $C$ не всі рівні нулю; у векторній формі:

$(𝐫,𝐍)+D=0$

де $𝐫$ — радіус-вектор точки $M(x,y,z)$, вектор $𝐍=(A,B,C)$ перпендикулярний до площини (нормальний вектор). Напрямні косинуси вектора $𝐍$:

$\cos \alpha =\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},$

$\cos \beta =\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},$

$\cos \gamma =\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$

Якщо один з коефіцієнтів в рівнянні площини дорівнює нулю, то рівняння називають неповним. За умови $D=0$ площина проходить через початок координат, за $A=0$ (або $B=0$, $C=0$) площина паралельна осі $Ox$ (відповідно $Oy$ чи $Oz$). За $A=B=0$ ($A=C=0$ чи $B=C=0$) площина паралельна площині $Oxy$ (відповідно $Oxz$ чи $Oyz$).

• Рівняння площини у відрізках:

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1,$

де $a=-D/A,b=-D/B,c=-D/C$ — відрізки, які площина відсікає на осях $Ox,Oy$ і $Oz$.

• Рівняння площини, що проходить через точку $M(x_0,y_0,z_0)$ перпендикулярно до вектора $𝐍(A,B,C)$:

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0;$

у векторній формі:

$((𝐫-{𝐫}_{\mathrm{𝟎}}),𝐍)=0.$

• Рівняння площини, що проходить через три задані точки $M(x_i,y_i,z_i)$, які не лежать на одній прямій:

$((𝐫-{𝐫}_{\mathrm{𝟏}}),(𝐫-{𝐫}_{\mathrm{𝟐}}),(𝐫-{𝐫}_{\mathrm{𝟑}}))=0$

(мішаний добуток векторів), іншими словами

$\left|\begin{array}{ccc}x-x_1& y-y_1& z-z_1\\ x_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1& z_3-z_1\end{array}\right|=0.$

• Нормальне (нормоване) рівняння площини

$x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0(2)$

у векторній формі:

$(𝐫,{𝐍}^{\mathrm{𝟎}})=0,$

де ${𝐍}^{\mathrm{𝟎}}$ — одиничний вектор, $p$ — відстань від площини до початку координат. Рівняння(2) можна отримати з рівняння (1), помноживши його на нормуючий множник

$\mu =\pm \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

(знаки $\mu$ і $D$ протилежні).

Пов'язані поняття

• Відхилення точки $M_1(x_1,y_1,z_1)$ від площини

$\delta =x_1\cos \alpha +y_1\cos \beta +z_1\cos \gamma -p;$

$\delta >0$, якщо $M_i$ і початок координат лежать по різні сторони площини, в протилежному випадку $\delta <0$. Відстань від точки до площини дорівнює $|\delta |.$

• Кут між площинами. Якщо рівняння площини задані у вигляді (1), то

$\cos \phi =\frac{A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2}{\sqrt{(A_1^2+B_1^2+C_1^2)(A_2^2+B_2^2+C_2^2)}};$

Якщо у векторній формі, то

$\cos \phi =\frac{({𝐍}_{\mathrm{𝟏}},{𝐍}_{\mathrm{𝟐}})}{|{𝐍}_{\mathrm{𝟏}}||{𝐍}_{\mathrm{𝟐}}|}.$

• Площини паралельні, якщо

$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$ чи $[{𝐍}_{\mathrm{𝟏}},{𝐍}_{\mathrm{𝟐}}]=1.$

• Площини перпендикулярні, якщо

$A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2=0$ чи $({𝐍}_{\mathrm{𝟏}},{𝐍}_{\mathrm{𝟐}})=0$.

• Пучок площин — рівняння довільної площини, що проходить через лінію перетину двох площин

$\alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z)+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z)=0,$

де $\alpha$ і $\beta$ — довільні числа, які не одночасно дорівнюють нулю.

Література

• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия М.: ФИЗМАТЛИТ / 2002 р., 240с.

Посилання

• Шаблон:Клепко ВМ