Тригранник Френе

Тригранник Френе вздовж гвинтової лінії. Вектори $\tau$ — синій, $\nu$ — червоний, $\beta$ — чорний.

Тригранник або репер Шаблон:Нп — це природний Шаблон:Нп у тривимірному просторі, що виникає на C³-гладкій кривій.

Нехай $\gamma (t)$ — C³-гладка крива в Евклідовому просторі ${𝔼}^3$. Крива задана радіус-вектором $r=r(s)$, де s — натуральний параметр. З точкою ненульової кривини $p\in \gamma (t),p=r(s)$ можна зв'язати три вектори $\tau (s),\nu (s),\beta (s),$ які утворюють ортонормований базис. Де

$\tau =\dot{r}(s)$ — одиничний дотичний вектор,

$\nu =\frac{\ddot{r}(s)}{||\ddot{r}(s)||}$ — одиничний вектор головної нормалі,

$\beta =[\tau ,\nu ]$  — одиничний вектор бінормалі до кривої в даній точці.

Вектори $\tau ,\nu ,\beta$ зв'язані співвідношеннями:

$\begin{array}{ccccc}\frac{d\tau }{ds}& =& & k\nu & \\ & & & & \\ \frac{d\nu }{ds}& =& -k\tau & & +\varkappa \beta \\ & & & & \\ \frac{d\beta }{ds}& =& & -\varkappa \nu & \end{array}$

Величини

$k=||\ddot{\gamma }(s)||,\varkappa =-⟨\dot{\beta },\nu ⟩$

називають, відповідно, кривиною та скрутом кривої в даній точці. Рівняння виду $k=f(s)\in C^1,\kappa =g(s)\in C^0,$ де $f(s)$ усюди додатна називаються натуральними рівняннями кривої та визначають її з точністю до руху у просторі. Це твердження називають основною теоремою теорії кривих.

Формули Френе також відомі як теореми Френе, можна сформулювати, більш стисло, використовуючи матричні позначення:

$\left[\begin{array}{c}{\tau }^{\prime }\\ {\nu }^{\prime }\\ {\beta }^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& k& 0\\ -k& 0& \varkappa \\ 0& -\varkappa & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\tau \\ \nu \\ \beta \end{array}\right].$

Ця матриця буде кососиметричною.

Визначення

T та N вектори у двох точках на плоскій кривій, переносимо вектор T (позначено пунктиром), різницю векторів позначимо, як δT. Відстань між точками позначимо δs. Границя $\frac{d𝐓}{ds}$ буде в напрямку N і кривина описує швидкість обертання репера.

Нехай r(t) — це крива в евклідовому просторі, що представлена радіус-вектором як функція, залежна від часу. Формули Френе-Серрі виконуються для невироджених кривих. Це криві, у яких вектор швидкості r'(t) та вектор прискорення r"(t) не будуть паралельними.

Нехай s(t) задається довжиною дуги, яка змінюється вздовж частини кривої. У випадку, коли крива задана ненатуральною параметризацією, можна перейти до неї за допомогою наступної формули:

$s(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\Vert {𝐫}^{\prime }(\sigma )\Vert d\sigma .$

Більш того, з того, що r′ ≠ 0 слідує, що s(t) — строго монотонно зростаюча функція. Тому візьмемо t як функцію, залежну від s, і запишемо у вигляді: r(s) = r(t(s)). Тоді, крива буде параметризована за допомогою довжини дуги.

Посилання

• Формулы Френе. Трёхгранник Френе Шаблон:Ref-ru

Література

• Шаблон:Борисенко.Диференціальна геометрія і топологія
• Пришляк О., Диференціальна геометрія: Курс лекцій. — К.: Київський університет, 2004. — 68 с. Шаблон:Webarchive