Границя

Шаблон:Otheruses Шаблон:Значення Границя — одне з основних понять математики, яке означає, що деякий об'єкт, змінюючись, нескінченно наближається до певного сталого значення. Точний зміст отримує лише при наявності коректного визначення поняття близькості між елементами (точками) множини, в якій вказана величина набуває значення.

Основні поняття математичного аналізу — неперервність, похідна, інтеграл — визначають через границю.

Границя послідовності

Стале число $a$ називають границею послідовності $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, якщо для кожного додатного числа $\epsilon$, скільки б малим воно не було, існує такий номер $N$, що всі значення $x_n$, в яких номер $n>N$, задовольняють нерівність

$|x_n-a|<\epsilon$

Той факт, що $a$ є границею послідовності, позначають так: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=a$ або просто $\lim x=a$ чи $x_n\to a,n\to \mathrm{\infty }$. Номер $N$ залежить від вибору числа $\epsilon$. При зменшенні $\epsilon$ число $N$ буде збільшуватись. Тобто, чим більш близькі члени $x_n$ послідовності до $a$ вимагати, тим більші значення їх індексів.

Границя функції

Точка Шаблон:Math знаходиться в межах Шаблон:Math одиниць Шаблон:Math.

Для всіх Шаблон:Math, Шаблон:Math перебуває в межах Шаблон:Math із Шаблон:Math.

Нехай $A\subset ℝ$, причому $A\ne \mathrm{\varnothing }$, і $x_0$ — гранична точка множини $A$. У подальшому будемо розглядати функції $f:A\to ℝ$.

Означення за Коші

Число $a$ називається границею функції $f$ в точці $x_0$, якщо для кожного додатного числа $\epsilon$ існує додатне число $\delta$ таке, що для довільного $x\in A\cap (x_0-\delta ,x_0+\delta )\setminus \{x_0\}$ виконується нерівність $|f(x)-a|<\epsilon .$

Позначення:

$a=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$

або

$f(x)\to a$ при $x\to x_0$.

Під $\epsilon$ і $\delta$ можна розуміти як «похибку» та «відстань» відповідно. У цих позначеннях похибка $\epsilon$ обчислення значення границі зменшується при зменшенні відстані $\delta$ до граничної точки.

Означення за Гейне

Число $p$ називається границею функції $f$ в точці $x_0$, якщо для довільної послідовності ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\subset A$, $x_n\ne x_0$ при $n\in \mathbb{N}$, що збігається до числа $x_0$, відповідна послідовність значень функції ${\left\{f\left(x_n\right)\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ збіжна і має границею одне і теж саме число $p$.

Наприклад,

$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$.

Як видно Шаблон:Math не визначено, але коли Шаблон:Mvar наближається до 1, то Шаблон:Math відповідно наближається до 2:

Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math
Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math

Таким чином, Шаблон:Math можна зробити як завгодно близьким до границі 2, просто зробивши Шаблон:Mvar досить близьким до 1. Тобто

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=2.$

Це також можна обчислити алгебраїчно як $\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=x+1$ для всіх дійсних чисел Шаблон:Math.

Оскільки $x+1$ визначене при $x=1$, то можна підставити 1 замість Шаблон:Mvar, що приведе до рівності

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=1+1=2.$

На додаток до границь зі скінченними значеннями, функції також можуть мати границі в нескінченності. Наприклад, розглянемо функцію

$f(x)=\frac{2x-1}{x}$,

для якої

• Шаблон:Math
• Шаблон:Math
• Шаблон:Math

Коли x стає надзвичайно великим, значення Шаблон:Math наближається до 2, а значення Шаблон:Math можна наблизити до 2, зробивши Шаблон:Mvar достатньо великим. Отже, у цьому випадку границя Шаблон:Math при Шаблон:Mvar, що прямує до плюс нескінченності, дорівнює 2, або в математичному записі

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2x-1}{x}=2.$

Обчислюваність границі

Границю іноді може бути важко обчислити. Існують граничні вирази, Шаблон:Не перекладено яких нерозв’язний. У теорії обчислюваності Шаблон:Не перекладено показує, що нерозв’язні задачі можна кодувати, використовуючи границі.

Див. також

• Границя функції в точці
  • Одностороння границя: будь-яка з двох границь функції дійсної змінної Шаблон:Mvar, коли Шаблон:Mvar прямує до точки зліва або справа
  • Список границь: список границь поширених функцій
  • Стискна теорема: знаходить границю функції шляхом порівняння її з двома іншими функціями
• Верхня і нижня границі
• Швидкість збіжності
• Асимптотичний аналіз: метод опису граничної поведінки
  • Нотація Ландау: використовується для опису граничної поведінки функції, коли аргумент прямує до певного значення або нескінченності
• Фундаментальна послідовність
  • Повний метричний простір
• Рівномірна збіжність
• Збіжність майже всюди
• Збіжність за мірою
• Збіжність випадкових величин
• Границя в теорії категорій
  • Індуктивна границя
  • Проєктивна границя
• Межа (значення)

Джерела

• Шаблон:Бурбакі.Загальна топологія.г1-2
• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Банах.Диференціальне та інтегральне числення