Збіжність майже всюди

Збіжність майже всюди — один з видів збіжності функцій у вимірних просторах або випадкових величин.

Визначення

Термінологія теорії міри

Нехай $(X,ℱ,\mu )$ — вимірний простір і $f_n,f:X\to ℝ,n\in \mathbb{N}$. Кажуть, що $\{f_n\}$ збігається майже всюди (позначають $f_n\to f$ $\mu$ - майже всюди), якщо

$\mu (\{x\in X\mid \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{f}_n(x)=f(x)\})=0$

Термінологія теорії ймовірностей

Якщо $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ — це ймовірнісний простір та $X_n,X$ - випадкові величини, такі що:

$\mathbb{P}(\{\omega \in \mathrm{\Omega }\mid \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{X}_n(\omega )=X(\omega )\})=1$

то кажуть що послідовність $\{X_n\}$ збігається майже напевно до $X$.

Спрощений запис:

$\mathrm{Pr}(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{X}_n=X)=1.$

Еквівалентне означення:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{Pr}(\omega \in \mathrm{\Omega }:\underset{m\ge n}{\sup }|X_m(\omega )-X(\omega )|\ge \epsilon )=0,\mathrm{\forall }\epsilon >0.$

Для загальних випадкових величин у метричних просторах означення аналогічне:

$\mathrm{Pr}(\omega \in \mathrm{\Omega }:d(X_n(\omega ),X(\omega )\left)\underset{n\to \mathrm{\infty }}{⟶}0\right)=1$

Властивості

• Із поточкової збіжності випливає збіжність майже всюди.
• Із збіжності майже всюди випливає збіжність за мірою, і, таким чином, слабку збіжність (збіжність за розподілом).
• Не існує топології на множині випадкових величин (або вимірних функцій у просторі з мірою), яка б породжувала збіжність майже всюди.
• Теорема Лебега про мажоровану збіжність дає умови для слідування збіжності у середньому із збіжності майже всюди.

Джерела

• Шаблон:Колмогоров.Основные понятия теории вероятностей
• Шаблон:Колмогоров.Фомин
• Шаблон:Березанський.Ус.Шефтель