Теорема Лебега про мажоровану збіжність

Теоре́ма Лебе́га про мажоро́вану збі́жність — теорема у функціональному аналізі, теорії ймовірностей і суміжних дисциплінах, що визначає достатні умови рівності границі інтегралів Лебега від збіжної послідовності функцій і інтеграла Лебега від граничної функції цієї послідовності. Твердження не має аналогу для інтеграла Рімана і є однією із значних теоретичних переваг інтеграла Лебега.

Формулювання

Нехай $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ — вимірні функції на просторі з мірою $(X,ℱ,\mu )$, що приймають значення в $ℝ$ чи $ℂ$ і задовольняють умови :

• Послідовність функцій $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ збігається за мірою до функції $f$ на всій множині $X$.

• Існує функція $g\in L^1,$ така що :

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }x\in X,|f_n(x)|⩽g(x)$

Тоді $f\in L^1$ і

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }|f_n-f|d\mu =0$

при чому виконується :

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }{f}_{n}d\mu =\underset{X}{\int }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_{n}d\mu =\underset{X}{\int }fd\mu$

Доведення

Доведемо, що $f\in L^1$ :

оскільки $f$ є границею вимірних функцій, вона є вимірною. Також оскільки для усіх $n$ виконується $|f_n(x)|⩽g(x)$, то здійснивши граничний перехід одержуємо, $|f(x)|⩽g(x),\mathrm{\forall }x\in X$ звідки $f\in L^1$.

Використавши $2g-|f_n-f|⩾0$ і застосувавши лему Фату,

$\begin{array}{cc}\underset{X}{\int }2gd\mu & ⩽\mathrm{lim\; inf}\underset{X}{\int }(2g-|f_n-f|)d\mu \\ & =\underset{X}{\int }2gd\mu +\mathrm{lim\; inf}\underset{X}{\int }-|f_n-f|d\mu \\ & =\underset{X}{\int }2gd\mu -\mathrm{lim\; sup}\underset{X}{\int }|f_n-f|d\mu \\ \end{array}$

Оскільки $\int gd\mu <\mathrm{\infty }$ то, $\mathrm{lim\; sup}\underset{X}{\int }|f_n-f|d\mu ⩽0$

звідки

$\lim \underset{X}{\int }|f_n-f|d\mu =0$

скориставшись цією властивістю можна завершити доведення :

$\begin{array}{cc}& |\underset{X}{\int }(f_n-f)d\mu |⩽\underset{X}{\int }|f_n-f|d\mu \\ \Rightarrow & |\underset{X}{\int }{f}_{n}d\mu -\underset{X}{\int }fd\mu |⩽\underset{X}{\int }|f_n-f|d\mu \to 0\\ \Rightarrow & \underset{X}{\int }{f}_{n}d\mu \to \underset{X}{\int }fd\mu \end{array}$

Зауваження

• Умова мажорованості послідовності $\{f_n\}$ інтегрованою функцією $g$ не може бути опущена, як показує наступний контрприклад. Нехай $(X,ℱ,\mu )=([0,1],ℬ,m)$, де $ℬ$ - борелівська $\sigma$-алгебра на $[0,1]$, а $m$ - міра Лебега на тому ж просторі. Визначимо

$f_n(x)=\{\begin{array}{cc}n,& x\in [0,\frac{1}{n});\\ 0,& x\in [\frac{1}{n},1].\end{array}$

Тоді послідовність $\{f_n\}$ не може бути мажорована інтегрованою функцією, і

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{f}_n(x)m(dx)=0\ne 1=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}_n(x)m(dx).$

• В твердженні теореми достатньо вимагати збіжності майже всюди і виконання нерівностей $|f_n(x)|⩽g(x)$ майже всюди.

Справді якщо позначити $N_k=\{x:|f_k(x)|\ge g(x),n\in \mathbb{N}\}$ і $N_0$ — множина на якій послідовність $f_k$ не збігається до f, то $\mu \left(N_k\right)=0$ для всіх $k$. Позначивши $N=\bigcup _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{N}_k$ маємо $\mu \left(N\right)=0$ і перевизначивши $f_k=0,f=0$ на $N$ маємо, що $f_k,f$ задовольняють всі умови теореми і їх інтеграли не змінюються оскільки перевизначення відбулося на множині міри нуль.

Застосування до теорії ймовірностей

Оскільки математичне сподівання випадкової величини визначається як її інтеграл Лебега по простору елементарних подій $\mathrm{\Omega }$, вищенаведена теорема переноситься і в теорію ймовірностей. Нехай задана послідовність випадкових величин, що сходиться майже напевно: $X_n\to X$ майже напевно. Нехай додатково існує інтегровна випадкова величина $Y$, така що $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}|X_n|⩽Y$ майже напевно. Тоді випадкові величини $X_n,X$ інтегровні і

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}𝔼X_n=𝔼X.$

Див. також

• Лема Фату
• Інтеграл Лебега
• Вимірна функція

Література

• Шаблон:Банах. КФА Лінійні операції
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2
• Шаблон:Дороговцев.Теорія міри
• Шаблон:Rudin.Functional Analysis
• Шаблон:Колмогоров.Фомин