Ймовірнісний простір

Шаблон:Основи теорії ймовірностей Ймовірнісний простір — поняття, що його ввів А. М. Колмогоров в 30-х роках XX століття для формалізації поняття ймовірності, яке дало початок бурхливому розвитку теорії ймовірностей як строгої математичної дисципліни.

Ймовірнісний простір — це трійка $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$, де

• $\mathrm{\Omega }$ — довільна множина, елементи якої називаються елементарними подіями, сама множина називається простором елементарних подій;
• $ℱ$ — сигма-алгебра підмножин $\mathrm{\Omega }$, званих (випадковими) подіями;
• $\mathbb{P}$ — ймовірнісна міра або ймовірність, тобто сигма-адитивна скінченна міра, така що $\mathbb{P}(\mathrm{\Omega })=1$.

Зауваження

• Елементарні події (елементи множини $\mathrm{\Omega }$), за визначенням — це результати випадкового експерименту, з яких в експерименті відбувається рівно один.
• Кожна випадкова подія (елемент $ℱ$) — це підмножина $\mathrm{\Omega }$. Говорять що в результаті експерименту відбулася випадкова подія $A\subset \mathrm{\Omega }$, якщо (елементарний) результат експерименту є елементом $A$.

Вимога, що $ℱ$ є сигма-алгеброю підмножин $\mathrm{\Omega }$, дозволяє, зокрема говорити про ймовірність випадкової події, ймовірність об'єднання зліченної кількості випадкових подій, а також про ймовірність доповнення будь-якої події.

Скінченні ймовірнісні простори

Простим і часто використовуваним прикладом ймовірнісного простору є скінчений простір. Нехай $\mathrm{\Omega }$ — скінченна множина, що містить $|\mathrm{\Omega }|=n$ елементів.

Як сигма-алгебру зручно узяти сімейство всіх підмножин $\mathrm{\Omega }$. Його часто символічно позначають $2^{\mathrm{\Omega }}$. Легко показати, що число членів цього сімейства, тобто число різних випадкових подій, якраз рівне $2^{|\mathrm{\Omega }|}$, що пояснює позначення.

Імовірність, взагалі кажучи, можна визначати довільно. Часто, проте, немає причин вважати, що один елементарний результат чим-небудь переважний за іншого. Тоді природним чином ввести ймовірність є:

$\mathbb{P}(A)=\frac{n_a}{n}$,

де $A\subset \mathrm{\Omega }$ та $|A|=n_a$ — число елементарних результатів, що належать $A$. Зокрема, ймовірність будь-якої елементарної події:

$\mathbb{P}(\{\omega \})=\frac{1}{n},\mathrm{\forall }\omega \in \mathrm{\Omega }.$

Приклад

Розглянемо експеримент з киданням урівноваженої монети. Тоді природним чином задати ймовірнісний простір буде: $\mathrm{\Omega }=\{0,1\},ℱ=\{\{0\},\{1\},\{0,1\},\mathrm{\varnothing }\}$ і визначити ймовірність таким чином:

$\mathbb{P}(\{0\})=\frac{1}{2},\mathbb{P}(\{1\})=\frac{1}{2},\mathbb{P}(\{0,1\})=1,\mathbb{P}(\mathrm{\varnothing })=0.$

Джерела

• Шаблон:Гнєденко.Курс теорії ймовірностей
• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко
• Шаблон:Колмогоров.Основные понятия теории вероятностей