Збіжність випадкових величин

У теорії ймовірностей існує декілька видів збіжності випадкових величин. Збіжність послідовності випадкових величин до деякої граничної випадкової величини має широке застосування у статистиці та теорії випадкових процесів.

Види збіжностей

Схема зв'язків між збіжностями:

\begin{matrix} \overset{L^{s}}{\to} & \underset{s > r \geq 1}{\Rightarrow} & \overset{L^{r}}{\to} \\ ⇓ \\ \overset{M . H .}{\to} & \Rightarrow & \overset{p}{\to} & \Rightarrow & \overset{d}{\to} \end{matrix}

Список властивостей різних типів збіжностей:

X_{n} \overset{a s}{\to} X \Rightarrow X_{n} \overset{p}{\to} X

Із збіжності за ймовірністю випливає існування підпослідовності, що збігається майже напевно.

X_{n} \overset{p}{\to} X \Rightarrow X_{k_{n}} \overset{a s}{\to} X

X_{n} \overset{p}{\to} X \Rightarrow X_{n} \overset{d}{\to} X

X_{n} \overset{L^{r}}{\to} X \Rightarrow X_{n} \overset{p}{\to} X

Із збіжності у середньому вищого порядку випливає збіжність у середньому нижчого порядку (обидва порядки мають бути не менше 1).

X_{n} \overset{L^{r}}{\to} X \Rightarrow X_{n} \overset{L^{s}}{\to} X,

за умови r ≥ s ≥ 1.

Із збіжності послідовності випадкових величин до константи випливає збіжність до константи за ймовірністю.

X_{n} \overset{d}{\to} c \Rightarrow X_{n} \overset{p}{\to} c,

Якщо X_n збігається за розподілом до X та різниця між X_n та Y_n збігається за ймовірністю до 0, то Y_n теж збігається за розподілом до X.

X_{n} \overset{d}{\to} X, | X_{n} - Y_{n} | \overset{p}{\to} 0 \Rightarrow Y_{n} \overset{d}{\to} X

Якщо X_n збігається за розподілом до X і Y_n збігається за розподілом до константи c, тоді вектор (X_n, Y_n) збігається за розподілом до (X, c).

X_{n} \overset{d}{\to} X, Y_{n} \overset{d}{\to} c \Rightarrow (X_{n}, Y_{n}) \overset{d}{\to} (X, c)

Зауваження: збіжність до константи, а не до випадкової величини - суттєва умова.

Якщо X_n збігається за ймовірністю до X та Y_n збігається за ймовірністю до Y, тоді сумісний вектор (X_n, Y_n) збігається за ймовірністю до (X, Y).

X_{n} \overset{p}{\to} X, Y_{n} \overset{p}{\to} Y \Rightarrow (X_{n}, Y_{n}) \overset{p}{\to} (X, Y)

Якщо X_n збігається за ймовірністю до X, та якщо Шаблон:Nowrap для всіх n та деякого b, тоді X_n збігається у середньому з r-м порядком до X для всіх r ≥ 1.
Якщо послідовність випадкових величин {X_n} збігається до X₀ за розподілом, то можна побудувати новий ймовірнісний простір (Ω, F, P) та послідовність випадкових величин {Y_n, n = 0,1,…} визначених на ньому, таку що Y_n має такий самий розподіл як X_n для кожного n ≥ 0 та Y_n збігається до Y₀ майже напевно.
Якщо S_n - це сума n дійсних незалежних випадкових величин:

S_{n} = X_{1} + \dots + X_{n}

тоді S_n збігається майже напевно тоді й лише тоді коли S_n збігається за ймовірністю.

Теорема Лебега про мажоровану збіжність дає достатні умови для того щоб із збіжності майже напевно випливала збіжність у середньому 1-го порядку:

\begin{matrix} X_{n} \overset{a . s .}{\to} X \\ | X_{n} | < Y \\ E (Y) < \infty \end{matrix}} \Rightarrow X_{n} \overset{L^{1}}{\to} X

Необхідна і достатня умова для збіжності у середньому 1-го порядку - це збіжність за ймовірністю $X_{n} \overset{P}{\to} X$ та рівномірна інтегрованість послідовності X_n.