Збіжність за розподілом

Збіжність за розподілом в теорії ймовірностей — вид збіжності випадкових величин.

Визначення

Нехай дано ймовірнісний простір $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ і на ньому визначені випадкові величини $X,X_n:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^m,n=1,2,\dots$. Кожна випадкова величина індукує ймовірнісну міру на ${ℝ}^m$, що називається розподілом.

Випадкові величини $X_n$ збігаються за розподілом до випадкової величини $X$, якщо розподіли ${\mathbb{P}}^{X_n}$ слабко збігаються до розподілу ${\mathbb{P}}^X$, тобто

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\underset{{ℝ}^m}{\int }f(x){\mathbb{P}}^{X_n}(dx)=\underset{{ℝ}^m}{\int }f(x){\mathbb{P}}^X(dx)$

для будь-якої борелевої функції $f:{ℝ}^m\to ℝ$.

Зауваження

• Користуючись теоремою про заміну міри в інтегралі Лебега, остання рівність може бути переписана так:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}𝔼f(X_n)=𝔼f(X)$.

• Границя за розподілом не єдина. Якщо розподіли двох випадкових величин ідентичні, то вони або обидва є границею за розподілом послідовності випадкових величин або обидва не є.

Властивості збіжності за розподілом

• Випадкові величини $X_n$ збігаються за розподілом до $X$, якщо їх функції розподілу $F_{X_n}$ збігаються до функції розподілу границі $F_X$ у всіх точках неперервності останньої:

$F_X\in C(x)\Rightarrow \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{F}_{X_n}(x)=F_X(x)$.

• Якщо всі випадкові величини в означенні дискретні, то $X_n{\to }^{𝒟}X$ тоді і тільки тоді, коли є збіжність функцій імовірності:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{p}_{X_n}(x)=p_X(x)$.

• Якщо всі випадкові величини в означенні абсолютно неперервні, і їх щільності збігаються:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{f}_{X_n}(x)\to f_X(x)$ майже скрізь, то $X_n{\to }^{𝒟}X$. Обернене, взагалі кажучи, невірно!

• Зі збіжності за ймовірністю (а, отже, і збіжності майже скрізь і в $L^p$) випливає збіжність за розподілом:

$X_n{\to }^{\mathbb{P}}X\Rightarrow X_n{\to }^{𝒟}X$.

Обернене, взагалі кажучи, невірно.

Див. також

• Теорема Слуцького

Література

• Карташов М.В. Імовірність, процеси, статистика - Київ, ВПЦ Київський університет, 2007.