Одностороння границя

Функція $f(x)=x^2+\mathrm{sign}x$ має лівосторонню границю $-1,$ правосторонню границю $+1,$ і значення функції, рівне $0$, у точці $x=0.$

Одностороння границя в математичному аналізі — границя функції дійсної змінної, яка передбачає прямування до граничної точки тільки з одного боку — зліва або справа. Такі границі називають відповідно лівосторонньою границею (або лівою границею) та правосторонньою границею (або правою границею).

Означення

Існує кілька рівносильних визначень границі функції в точці — серед них є сформульовані Коші та Гейне.

Нехай $A\subset ℝ$, причому $A\ne \mathrm{\varnothing }$, і $x_0$ — гранична точка множини $A$. У подальшому будемо розглядати функції $f:A\to ℝ$.

Означення за Коші

Означення правосторонньої границі

Нехай $x_0$ така гранична точка множини $A$, що існує $\gamma >0$ таке, що $(x_0,x_0+\gamma )\subset A$. Число $a$ називається правосторонньою границею функції $f$ в точці $x_0$, якщо для довільного додатного $\epsilon$ існує додатне число $\delta$ таке, що для довільного $x\in (x_0,x_0+\delta )$ виконується $|f(x)-a|<\epsilon$.

Правосторонню границю прийнято позначати наступним чином:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0+}f(x),\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0+0}f(x),\underset{x\downarrow x_0}{\lim }f(x),\underset{x\searrow x_0}{\lim }f(x);$

Означення лівосторонньої границі

Нехай $x_0$ така гранична точка множини $A$, що існує $\gamma >0$ таке, що $(x_0-\gamma ,x_0)\subset A$. Число $a$ називається лівосторонньою границею функції $f$ в точці $x_0$, якщо для довільного додатного $\epsilon$ існує додатне число $\delta$ таке, що для довільного $x\in (x_0-\delta ,x_0)$ виконується $|f(x)-a|<\epsilon$.

Для лівосторонньої границі прийняті такі позначення:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0-}f(x),\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0-0}f(x),\underset{x\uparrow x_0}{\lim }f(x),\underset{x\nearrow x_0}{\lim }f(x).$

Використовуються також наступні скорочення:

• $f(x_0+)$ і $f(x_0+0)$ для правої границі;
• $f(x_0-)$ і $f(x_0-0)$ для лівої границі.

Означення за Гейне

Означення правосторонньої границі

Нехай $x_0$ така гранична точка множини $A$, що існує $\gamma >0$ таке, що $(x_0,x_0+\gamma )\subset A$. Число $p$ називається правосторонньою границею функції $f$ в точці $x_0$, якщо для будь-якої послідовності $\{a_n{\}}_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\subset A$, $a_n>x_0$ при $n\in \mathbb{N}$, що збігається до числа $x_0$, відповідна послідовність значень функції ${\left\{f\left(x_n\right)\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ збіжна і має границею одне і теж саме число $p$.

Означення лівосторонньої границі

Нехай $x_0$ така гранична точка множини $A$, що існує $\gamma >0$ таке, що $(x_0-\gamma ,x_0)\subset A$. Число $p$ називається правосторонньою границею функції $f$ в точці $x_0$, якщо для будь-якої послідовності $\{a_n{\}}_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\subset A$, $a_n<x_0$ при $n\in \mathbb{N}$, що збігається до числа $x_0$, відповідна послідовність значень функції ${\left\{f\left(x_n\right)\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ збіжна і має границею одне і теж саме число $p$.

Якщо обидві односторонні границі існують в точці $x_0$ та рівні в ній, то можна показати, що $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0-}f(x)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0+}f(x)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0}f(x)$. Якщо односторонні границі існують в точці $x_0$, але не рівні, то границі в точці $x_0$ не існує. Якщо будь-яка одностороння границя не існує, то і границі також не існує.

Приклади

Приклад 1: Лівою та правою границями функції $g(x)=-\frac{1}{x}$ при $x\to 0$ є

$\underset{x\to 0-}{\lim }-1/x=+\mathrm{\infty }$ та $\underset{x\to 0+}{\lim }-1/x=-\mathrm{\infty }.$

Причина, чому $\underset{x\to 0-}{\lim }-1/x=+\mathrm{\infty }$, в тому, що $x$ від'ємний при $x\to 0-$, що в цьому випадку означає, що $-1/x$ додатня, тому $\underset{x\to 0-}{\lim }-1/x$ розходиться до $+\mathrm{\infty }$.

Аналогічно, $\underset{x\to 0+}{\lim }-1/x=-\mathrm{\infty }$, бо $x$ додатній при $x\to 0+$, що в цьому випадку означає, що $-1/x$ від'ємна, тому $\underset{x\to 0+}{\lim }-1/x$ розходиться до $-\mathrm{\infty }.$

Графік функції $1/(1+2^{-1/x}).$

Приклад 2: Одним із прикладів функцій з різними односторонніми границями є $f(x)=\frac{1}{1+2^{-1/x}},$ для якої ліва границя дорівнює $\underset{x\to 0-}{\lim }f(x)=0$, а права границя — $\underset{x\to 0+}{\lim }f(x)=1.$

Використовуючи попередній приклад, отримуємо:

$\underset{x\to 0-}{\lim }{2}^{-1/x}=+\mathrm{\infty }$ та $\underset{x\to 0+}{\lim }{2}^{-1/x}=0.$

Тому

$\underset{x\to 0+}{\lim }\frac{1}{1+2^{-1/x}}=\frac{1}{1+\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{2}^{-1/x}}=\frac{1}{1+0}=1,$

а $\underset{x\to 0-}{\lim }\frac{1}{1+2^{-1/x}}=0$, бо знаменник прямує до нескінченності, тобто $\underset{x\to 0-}{\lim }(1+2^{-1/x})=+\mathrm{\infty }.$

Отже, $\underset{x\to 0-}{\lim }f(x)\ne \underset{x\to 0+}{\lim }f(x),$ а границі $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$ не існує.

Див. також

• Границя функції в точці
• Напівнеперервна функція

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Банах.Диференціальне та інтегральне числення