Границя (теорія категорій)

Границя в теорії категорій — поняття, що узагальнює властивості таких конструкцій, як добуток, розшарований добуток і проективна границя. Двоїстим до границі є поняття кограниці, що узагальнює властивості таких конструкцій, як диз'юнктне об'єднання, кодобуток, розшарований кодобуток і індуктивна границя.

Означення

Поняття границі і кограниці вводяться за допомогою діаграм. Діаграмою типу Шаблон:Math в категорії Шаблон:Math називається функтор:

Шаблон:Math.

Найбільший інтерес представляє випадок, коли Шаблон:Math є малою або скінченною категорією. У цьому випадку діаграма Шаблон:Math називається малою або скінченною.

Категорію Шаблон:Math можна сприймати як індексну, об'єкти якої індексують об'єкти категорії Шаблон:Math подібно до того, як для послідовностей натуральні числа індексують елементи деякої множини. У випадку категорій проте у індексній категорії також задані деякі морфізми між об'єктами, які функтор переводить у морфізми між індексованими об'єктами.

Нехай Шаблон:Math — діаграма типу Шаблон:Math в категорії Шаблон:Math. Конусом у Шаблон:Math називається об'єкт Шаблон:Math в Шаблон:Math разом з сім'єю морфізмів Шаблон:Math, індексованих об'єктами Шаблон:Math діаграми Шаблон:Math, такий що для будь-якого морфізма Шаблон:Math також Шаблон:Math.

Границею діаграми Шаблон:Math називається конус Шаблон:Math в Шаблон:Math такий, що для будь-якого конуса Шаблон:Math у Шаблон:Math існує єдиний морфізм Шаблон:Math, такий що Шаблон:Math для всіх Шаблон:Math в Шаблон:Math.

A universal cone

Аналогічним чином дається означення поняття кограниці — потрібно лише обернути всі стрілки у комутативній діаграмі. Більш детально:

Коконус діаграми Шаблон:Math — об'єкт Шаблон:Math категорії Шаблон:Math разом з сім'єю морфізмів:

Шаблон:Math

для кожного Шаблон:Math в Шаблон:Math, такий, що для будь-якого морфізма Шаблон:Math виконується Шаблон:Math.

Кограницею діаграми Шаблон:Math називається коконус Шаблон:Math такий , що для будь-якого іншого коконуса Шаблон:Math існує єдиний морфізм Шаблон:Math, такий, що Шаблон:Math для всіх Шаблон:Math в Шаблон:Math.

A universal co-cone

Як і будь-які універсальні об'єкти, границі і кограниці не завжди існують, але якщо існують, то визначені з точністю до ізоморфізму.

Приклади границь

У прикладах розглядається границя Шаблон:Math діаграми Шаблон:Math.

• Термінальні об'єкти. Якщо Шаблон:Math — порожня діаграма, в Шаблон:Math існує тільки одна діаграма типу Шаблон:Math — порожня. Конус в порожню діаграму не може складатися більш ніж з одного елемента. Границею Шаблон:Math є об'єкт, в який існує єдиний морфізм з будь-якого об'єкта, тобто термінальний об'єкт.
• Добутки. Тут Шаблон:Math — дискретна категорія (без неодиничних морфізмів), діаграмою типу Шаблон:Math є сім'я об'єктів Шаблон:Math і границя — їх добуток разом з проєкціями на множники.
• Вирівнювач. Тут Шаблон:Math — категорія з двох об'єктів і двох паралельних морфізмів, тоді діаграмою типу Шаблон:Math є два паралельних морфізма у в Шаблон:Math і границя їх вирівнювач.
  • Ядро — окремий випадок вирівнювача, де один з морфізмів є нульовим морфізмом.
• Розшарований добуток. Тут Шаблон:Math складається з трьох об'єктів і морфізмів з першого і другого об'єктів у третій.
• Якщо Шаблон:Math — категорія з одного елемента і тотожного морфізма, то границею є той об'єкт, в який відображається Шаблон:Math.
• Топологічні границі. Границі функцій — окремий випадок границь фільтрів, які є пов'язані з категорними границями. В заданому топологічному просторі Шаблон:Math розглянемо Шаблон:Math — множину фільтрів на Шаблон:Math, точку Шаблон:Math — фільтр околів Шаблон:Math — деякий конкретний фільтр і $F_{x,A}=\{G\in F\mid V(x)\cup A\subset G\}$ — множину фільтрів, що є тоншими, ніж Шаблон:Math і сходяться до Шаблон:Math. На фільтрах Шаблон:Math можна задати структуру категорії, сказавши, що стрілка Шаблон:Math існує тоді і тільки тоді, коли Шаблон:Math. Вкладення $I_{x,A}:F_{x,A}\to F$ стає функтором і виконується твердження:

  Шаблон:Math — топологічна границя Шаблон:Math тоді і тільки тоді, коли Шаблон:Math — категорна границя $I_{x,A}$.

Властивості

Існування

Категорія має границі типу Шаблон:Math, якщо будь-яка діаграма типу Шаблон:Math має границю.

Категорія називається повною, якщо вона має границю для будь-якої малої діаграми (тобто діаграми, елементи якої утворюють множину). Аналогічно визначаються скінченно повні і коповні категорії.

Наприклад категорія множин Set є повною. Границею діаграми Шаблон:Math є множина:

$\{(x_i{)}_{i\in J}|x_i\in F(J)\mathrm{\forall }i\in J\wedge Fu(x_i)=x_j\mathrm{\forall }u\in \mathrm{Hom}(i,j).\}$

Згідно теореми про існування границь, якщо у категорії C існують усі вирівнювачі і всі добутки проіндексовані Ob(J) і Hom(J), тоді у C існують усі границі типу J. Границя діаграми F : J → C може бути записана як вирівнювання двох морфізмів

$s,t:\prod _{i\in \mathrm{Ob}(J)}F(i)\rightrightarrows \prod _{f\in \mathrm{Hom}(J)}F(\mathrm{cod}(f))$

заданих у компонентній формі як

$\begin{array}{cc}s& =(F(f)\circ {\pi }_{F(\mathrm{dom}(f))}{)}_{f\in \mathrm{Hom}(J)}\\ t& =({\pi }_{F(\mathrm{cod}(f))}{)}_{f\in \mathrm{Hom}(J)}.\end{array}$

Справедливою також є двоїста теорема про існування кограниць у термінах ковирівнювачів і кограниць.

Універсальна властивість

Розглянемо категорію Шаблон:Math з діаграмою Шаблон:Math. Категорію функторів Шаблон:Math можна вважати категорією діаграм типу Шаблон:Math в Шаблон:Math. Діагональний функтор $\mathrm{\Delta }:𝒞\to {𝒞}^{𝒥}$ — функтор, що відображає елемент Шаблон:Math категорії Шаблон:Math в постійний функтор Шаблон:Math, що відображає все в Шаблон:Math.

Для даної діаграми Шаблон:Math (що розглядається як об'єкт Шаблон:Math), натуральне перетворення Шаблон:Math (що розглядається як морфізм категорії Шаблон:Math) — те ж саме, що конус з Шаблон:Math в Шаблон:Math. Компоненти Шаблон:Math — морфізми Шаблон:Math. Означення границь і кограниць можна переписати як:

• границя Шаблон:Math — універсальна стрілка з Шаблон:Math в Шаблон:Math.
• кограниця Шаблон:Math — універсальна стрілка з Шаблон:Math в Шаблон:Math.

Функтори і границі

Функтор Шаблон:Math індукує відображення з Шаблон:Math в Шаблон:Math.

Шаблон:Math зберігає границі в Шаблон:Math, якщо Шаблон:Math — границя Шаблон:Math, коли Шаблон:Math — границя Шаблон:Math. Функтор Шаблон:Math зберігає всі границі типу Шаблон:Math, якщо він зберігає границі всіх діаграм Шаблон:Math. Наприклад, можна говорити, що Шаблон:Math зберігає добутки, вирівнювачі і т. д.

Неперервний функтор — функтор, який зберігає всі малі границі. Аналогічні означення вводяться для кограниць.

Важливою властивістю спряжених функторів є те, що кожен правий спряжений функтор є неперервним і кожен лівий спряжений функтор є конеперервним.

Функтор Шаблон:Math піднімає границі для діаграми Шаблон:Math якщо з того, що Шаблон:Math — границя Шаблон:Math випливає, що існує границя Шаблон:Math в Шаблон:Math, така що Шаблон:Math Шаблон:Sfn. Функтор Шаблон:Math піднімає границі типу Шаблон:Math, якщо він піднімає границі для всіх діаграм типу Шаблон:Math. Існують двоїсті означення для кограниць.

Див. також

• Добуток (теорія категорій)
• Індуктивна границя
• Проективна границя
• Розшарований добуток

Література

• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories Шаблон:Webarchive (4.2MB PDF). John Wiley & Sons. Шаблон:Isbn.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book