Добуток (теорія категорій)

Добуток (категорний добуток) — в теорії категорій це узагальнення таких понять декартів добуток множин, прямий добуток груп і добуток топологічних просторів.

Добуток сімейства об'єктів — це найбільш загальний об'єкт, з якого який існує морфізм до кожного об'єкта сімейства. Добуток об'єктів двоїстий їхньому кодобутку, тобто визначення кодобутків можна отримати з визначення добутку обертанням усіх стрілок.

Визначення

Якщо Шаблон:Math та Шаблон:Math — об'єкти категорії Шаблон:Math, тоді об'єкт Шаблон:Math є добутком Шаблон:Math та Шаблон:Math, позначається Шаблон:Math, якщо він задовільняє універсальну властивість:

існують морфізми Шаблон:Math, Шаблон:Math такі, що для кожного об'єкту Шаблон:Math та пари морфізмів Шаблон:Math, Шаблон:Math існує єдиний морфізм Шаблон:Math такий, що наступна діаграма є комутативною :

Універсальна властивість добутку

Єдиний морфізм Шаблон:Math називається добутком морфізмів Шаблон:Math та Шаблон:Math і позначається Шаблон:Math. Морфізми Шаблон:Math та Шаблон:Math називаються канонічними проєкціями чи морфізмами проєкції.

Добуток більше ніж двох об'єктів визначається для сімейства об'єктів, яке індексоване множиною Шаблон:Math.

Об'єкт Шаблон:Math є добутком сімейства об'єктів Шаблон:Math якщо існують морфізми Шаблон:Math, такі, що для кожного об'єкта Шаблон:Math та Шаблон:Math-індексованого сімейства морфізмів Шаблон:Math існує єдиний морфізм Шаблон:Math такий, що наступна діаграма є комутативною для всіх Шаблон:Math:

Universal product of the product

Приклади

• У категорії Set прямий добуток A і B — це добуток в сенсі теорії множин $A\times B$, а пряма сума — диз'юнктне об'єднання $A\bigsqcup B$.
• У категорії Ring пряма сума — це тензорний добуток $A\otimes B$, а прямий добуток — сума кілець $A\oplus B$.
• У категорії Vect_K прямий добуток і пряма сума ізоморфні — це сума векторних просторів $A\oplus B$.

Властивості

...

Дистрибутивність

В категорії із скінченними добутками та кодобутками існує канонічний морфізм X×Y+X×Z → X×(Y+Z), тут знак плюс означає кодобуток. Це випливає із існування канонічних проєкцій і вкладень та з комутативності наступної діаграми:

Властивість універсальності для X×(Y+Z) гарантує єдиність морфізму X×Y+X×Z → X×(Y+Z). Категорія називається дистрибутивною, якщо у ній цей морфізм є ізоморфізмом.

$X\times (Y+Z)\simeq (X\times Y)+(X\times Z).$

Див. також

• Категорія добутку

Література

• С. Маклейн Категории для работающего математика, — Шаблон:М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.
• И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — Шаблон:М.: Мир, 1972.