Кодобуток

Кодобуток (категорна сума) сімейства об'єктів — узагальнення у теорії категорій для понять диз'юнктного об'єднання множин і топологічних просторів та прямої суми модулів або векторних просторів. Кодобуток сімейства об'єктів — це найбільш загальний об'єкт, у який існує морфізм з кожного об'єкта сімейства. Кодобуток об'єктів двоїстий їхньому добутку, тобто визначення кодобутків можна отримати з визначення добутку згортанням усіх стрілок. Проте, насправді добуток і кодобуток об'єктів разюче відрізняються.

Визначення

Нехай $𝒞$ — категорія, $\{X_j|j\in J\}$ — індексоване сімейство її об'єктів. Кодобуток цього сімейства — це такий об'єкт $X$, разом з морфізмами $i_j:X_i\to X$, які називаються канонічними вкладеннями або канонічними ін'єкціями (хоча вони не зобов'язані бути ін'єкціями), що для будь-якого $Y\in Ob𝒞$ та сімейства морфізмів $f_j:X_j\to Y$ існує єдиний морфізм $f:X\to Y$, такий що $f_j=f\circ i_j$, тобто наступна діаграма комутативна для всіх $j$:

Кодобуток сімейства $\{X_j\}$ зазвичай позначають

$X=\coprod _{j\in J}{X}_j$

або

$X=\underset{j\in J}{⨁}{X}_j.$

Іноді морфізм $f$ позначають

$f=\coprod _{j\in J}{f}_j:\coprod _{j\in J}{X}_j\to Y$

щоб підкреслити його залежність від $f_j$.

Кодобуток двох об'єктів зазвичай позначають $X_1\coprod X_2$ або $X_1\oplus X_2$, тоді діаграма набуває вигляду

Відповідно, $f$ позначають при цьому $f_1\coprod f_2$, $f_1\oplus f_2$ або $[f_1,f_2]$.

Єдиність результату операції $[-,-]$ можна альтернативно виразити як рівність $[h\circ i_1,h\circ i_2]=h$, справедливу для будь-яких $h$.

Існує еквівалентне визначення кодобутку. Кодобуток сімейства $\{X_j|j\in J\}$ — це такий об'єкт $X$, що для будь-якого об'єкта $Y\in C$ функція $Hom(X,Y)\to \prod _{j\in J}Hom(X_j,Y)$, задана як $u\mapsto \{u\circ i_j\}$, бієктивна.

Властивості

• Якщо сума об'єктів існує, то вона єдина з точністю до ізоморфізму.
• Комутативність: $a+b\simeq b+a.$
• Асоціативність: $(a+b)+c\simeq a+(b+c)$
• Якщо у категорії існує початковий об'єкт $0$, то $a+0\simeq 0+a\simeq a.$
• Категорія, в якій визначено добуток будь-яких двох об'єктів і є ініціальний об'єкт, є симетричним моноїдом.

Дистрибутивність

У загальному випадку існує канонічний морфізм $X\times Y+X\times Z\to X\times (Y+Z)$, де плюс позначає кодобуток об'єктів. Це випливає із існування канонічних проєкцій і вкладень та з комутативності наступної діаграми:

Властивість універсальності для $X\times (Y+Z)$ гарантує при цьому існування шуканого морфізму. Категорія називається дистрибутивною, якщо у ній цей морфізм є ізоморфізмом.

Матриця перетворень

Будь-який морфізм

$f:\underset{i\in I}{⨁}{a}_i\to \underset{j\in J}{⨂}{b}_j$

породжує множину морфізмів

$f_{ij}:a_i\to b_j$,

які задаються за правилом $f_{ij}={\pi }_j\circ f\circ {ı}_i$ і називаються матрицею перетворення. В інший бік, будь-яка матриця перетворення $f_{ij}:a_i\to b_j$ задає єдиний відповідний морфізм $f:\underset{i\in I}{⨁}{a}_i\to \underset{j\in J}{⨂}{b}_j.$ Якщо у категорії існує нульовий об'єкт $0,$ для котрого для будь-якого об'єкта $x$ існує єдиний морфізм $d_x:x\to 0$ і єдиний морфізм $c_x:0\to x$, то матриця перетворення $f_{ij}:a_i\to a_j$, яка визначається за правилом

$f_{ij}=\{\begin{array}{c}{c}_j\circ d_i,i\ne j\\ i{d}_i,i=j\end{array}$

називається одиничною матрицею.

Приклад

В категорії скінченновимірних векторних просторів $𝒱ec{t}_f$ кодобуток просторів збігається з їхнім добутком і є їхньою прямою сумою. У цьому випадку категорне та звичайне поняття матриці перетворень збігаються, так як будь-який скінченновимірний простір можна розкласти у пряму суму одновимірних. При цьому матриця перетворення усього простору задається шляхом наведення образів відповідних базисних векторів та продовження перетворення на весь простір за лінійністю єдиним чином.

Література

• С. Мак Лейн Категории для работающего математика. — Шаблон:М.: Физматлит, 2004 [1998].

Див. також

• Добуток (теорія категорій) — двоїсте поняття.