Ортонормований базис

В скінченновимірному унітарному векторному просторі розмірності n, кожна ортонормована система із n векторів утворює ортонормований базис.

Загальне твердження

В кожному гільбертовому просторі $𝒰$, ортонормована система векторів ${𝐮}_1,{𝐮}_2,\dots$ утворює ортонормований базис тоді і тільки тоді, коли вона задовільняє наступним умовам:

1. Довільний вектор $𝐚\in 𝒰$ може бути записано у вигляді:
   $𝐚={\hat{\alpha }}_1{𝐮}_1+{\hat{\alpha }}_2{𝐮}_2+\dots$, де ${\hat{\alpha }}_k=({𝐮}_k,𝐚)$ (k = 1, 2, …)
2. Для будь-якого вектора $𝐚={\hat{\alpha }}_1{𝐮}_1+{\hat{\alpha }}_2{𝐮}_2+\dots$
   $\Vert 𝐚{\Vert }^2=|{\hat{\alpha }}_1{|}^2+|{\hat{\alpha }}_2{|}^2+\dots$(рівність Персеваля)
3. Для довільної пари векторів $𝐚={\hat{\alpha }}_1{𝐮}_1+{\hat{\alpha }}_2{𝐮}_2+\dots$ та $𝐛={\hat{\beta }}_1{\mathrm{u}}_1+{\hat{\beta }}_2{\mathrm{u}}_2+\dots$
   $(𝐚,𝐛)={\overline{\hat{\alpha }}}_1{\beta }_1+{\overline{\hat{\alpha }}}_2{\beta }_2+\dots$
4. Ортонормована система u₁, u₂, … не міститься в жодній іншій ортонормованій системі простору $𝒰$. Для довільного вектора $a\in 𝒰$ із (u_k, a) = 0 (k = 1, 2, …) випливає, що a = 0.

З кожної із цих чотирьох умов випливають три інших.

Зауваження

Звернемо увагу на те, що якщо a та a' — два вектори з одними і тими ж координатами â_k то ǁa − a' ǁ = 0 (теорема єдиності).

Див. також

• Ортонормальні базиси: координати у гільбертовому просторі
• Векторний простір

Джерела

• Шаблон:Гельфанд.Линейная алгебра
• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Ахієзер.Глазман.ТЛОвГП.т1