Унітарний простір

Векторний простір $𝔏$ над полем $𝕂$ називається унітарним, якщо кожній парі векторів $(𝐚,𝐛)$ з $𝔏$, взятих у визначеному порядку, поставлено у відповідність деяке число з $𝕂$, що називається скалярним добутком $⟨𝐚\mathbf{|}𝐛⟩$ вектора $𝐚$ на вектор $𝐛$ та має такі властивості:

1. $⟨𝐚\mathbf{|}𝐛⟩=\overline{⟨𝐛\mathbf{|}𝐚⟩}$;
2. $⟨\alpha 𝐚\mathbf{|}𝐛⟩=\alpha ⟨𝐚\mathbf{|}𝐛⟩$ для довільних $\alpha \in 𝕂$;
3. $⟨𝐚\mathbf{+}𝐛\mathbf{|}𝐜⟩=⟨𝐚\mathbf{|}𝐜⟩+⟨𝐛\mathbf{|}𝐜⟩$;
4. $⟨𝐚\mathbf{|}𝐚⟩\ge 0,⟨𝐚\mathbf{|}𝐚⟩=0⟺𝐚=𝐨$.

Аби розрізняти унітарний та евклідів простір, для скалярного добутку в унітарному просторі часто вживаються кутові дужки ("брекети"): $⟨⟩$.

Поняття унітарного простору є аналогом евклідового простору.

Унітарні простори зазвичай скінченновимірні. У нескінченновимірному випадку розглядаються натомість гільбертові простори. Поняття ермітового простору припускає алгебричне узагальнення, яке застосовується у теорії груп, дискретній математиці і теорії кодування.

Приклади унітарного простору

Простір $n$-вимірних стовпчиків ${ℂ}^n$ $𝐚=\Vert \begin{array}{c}{\zeta }_1\\ {\zeta }_2\\ ...\\ {\zeta }_n\end{array}\Vert ,𝐛=\Vert \begin{array}{c}{\eta }_1\\ {\eta }_2\\ ...\\ {\eta }_n\end{array}\Vert ,$ де ${\zeta }_i,{\eta }_i$ - комплексні числа, $i=1,...,n$.

Скалярний добуток $⟨𝐚\mathbf{|}𝐛⟩=\sum _{i=1}^n{\zeta }_i\overline{{\eta }_i}$.

Виявляється, що будь-який $n$-вимірний унітарний простір $H$ є ізоморфним до ${ℂ}^n$. Цей ізоморфізм досягається обранням ортонормального базису в $H.$

Узагальнення

Унітарний простір є частковим випадком гільбертового простору, а саме, він є комплексним гільбертовим простором.

І саме така назва є поширенішою в сучасній літературі.

В сучасній абстрактній алгебрі розглядаються векторні простори над довільними полями.

Припустимо, що на полі $E$ задана нетривіальна інволюція, тобто автоморфізм порядка $2$: $\sigma :E\to E,{\sigma }^2=Id,\sigma \ne Id,$ з інваріантним підполем $F=E^{\sigma }.$ Якщо уявити собі, що поле $E$ аналогічне до поля комплексних чисел, інволюція $\sigma$ — це комплексне спряження, тоді поле $F$ аналогічне до поля дійсних чисел. Можна розглянути векторний простір $V$ над $E$ з сесквілінійною невиродженною ермітовою $E$-значною формою

$V\times V\to E,u,v\mapsto (u,v),(v,u)=(u,v{)}^{\sigma }$.

Такий простір називається псевдоермітовим векторним простором над $E$. Якщо на додаток $E\subseteq ℂ,\sigma$ є звуженням комплексного спряження на $E$ і ермітова форма позитивно-визначена, тобто $(v,v)\in F=E^{\sigma }\subseteq ℝ$ — додатне число для будь-якого ненульового $v\in V,$ то $V$ називається ермітовим векторним простором над $E$. Ще більше узагальнення можна отримати, якщо замінити поле $E$ на (некомутативну) алгебру з інволюцією $D$ над $E$ і розглянути лівий $D$-модуль замість векторного простору $V.$

Викладена вище конструкція використовується у теорії алгебраїчних груп для винаходження аналогів комплексної унітарної групи над полем $E.$ А саме, слід розглянути групу ізометрій (псевдо)ермітового простору $V,$ тобто множину обертованих лінійних перетвореннь $g:V\to V,$ які не змінюють форму, тобто виконується $(gu,gv)=(u,v)$ для будь-яких $u,v\in V.$ У такий спосіб будується сімейство близьких до простих алгебраїчних груп над полем $E.$ Зокрема, для скінченого поля $E$ отримуємо одне з нескінчених сімейств скінчених простих груп. Цікаво відзначити, що ця нібито абстрактна конструкція має несподіванне застосування у дуже прикладній теорії кодування, в контексті алгебро-геометричних кодів. Різноманітні геометричні об'єкти пов'язані з ермітовими просторами над скінченими полями викликають неабиякий інтерес у дискретній математиці.

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць