Крива

Парабола — одна з найпростіших кривих

Крива́ — лінія в евклідовому просторі або в многовиді.

Рівняння кривої можна задавати в параметричній формі:

$x^i=x^i(t)$

де $x^i$ — координати точок кривої в деякій системі координат, заданій в евклідовому просторі або многовиді, а $t$ — скалярний параметр (його можна фізично уявляти моментом часу t=time, а саму криву як траєкторію руху точки)

Розглянемо рівняння кривої в декартовій системі координат $n$-вимірного евклідового простору. Введемо позначення радіус-вектора точки кривої:

$𝐫=\{x^1,x^2,...x^n\}$

Дотичний вектор

Похідну за параметром позначатимемо крапкою зверху:

$\dot{𝐫}=\frac{d𝐫}{dt}$

${\dot{x}}^i=\frac{d{x}^i}{dt}$

Очевидно, що вектор $𝐯=\dot{𝐫}$ (у фізичній інтерпретації швидкість точки) є дотичним до кривої.

Довжина кривої

Шаблон:Main Квадрат відстані між двома нескінченно близькими точками $𝐫$ і $𝐫+d𝐫$ дорівнює:

$(1)d{s}^2=(d𝐫\cdot d𝐫)=\sum _i(d{x}^i{)}^2=\sum _i(d{\dot{x}}^i{)}^2(dt{)}^2$

Довжина відрізка кривої, коли параметр $t$ пробігає значення від $t_1$ до $t_2$, дається інтегралом:

$(2)s=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}ds=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\sqrt{{\dot{x}}^i{\dot{x}}^i}dt$

Якщо в інтегралі (2) розглядати верхню межу як змінний параметр, то маємо функцію $s=s(t)$, визначену з точністю до константи (точки відліку, або нижньої межі в інтегралі (2)). Ця величина $s$ також параметризує точки нашої кривої; $s$ називається натуральним параметром кривої.

Якщо вектор швидкості $𝐯=\dot{𝐫}$ ніде не перетворюється в нуль, то підінтегральна функція в (2) додатня, а отже функція $s=s(t)$ всюди монотонно зростає і має обернену функцію $t=t(s)$.

Кривина кривої

Із рівності $d{s}^2=(d𝐫\cdot d𝐫)$ слідує, що похідна радіус-вектора за натуральним параметром кривої:

$\mathit{\tau }=\frac{d𝐫}{ds}$

є дотичним вектором одиничної довжини.

$(3){\mathit{\tau }}^2=(\mathit{\tau }\cdot \mathit{\tau })=1$

Диференціюючи (3) за натуральним параметром маємо:

$\frac{d}{ds}(\mathit{\tau }\cdot \mathit{\tau })=2(\mathit{\tau }\cdot \frac{d\mathit{\tau }}{ds})=0$

Отже вектор $𝐤=\frac{d\mathit{\tau }}{ds}=\frac{d^2𝐫}{d{s}^2}$ ортогональний до кривої. Цей вектор прийнято розкладати на добуток одиничного вектора $𝐧$ нормалі до кривої, та скаляра $k$ який називається кривиною:

$𝐤=k𝐧$

Геометричний зміст кривини

Покажемо (навіть двома способами), що кривина дорівнює оберненій величині до радіуса $R$ дотичного кола:

$(4)k=\frac{1}{R}$

Перший спосіб: через кут між дотичними векторами одиничної довжини в сусідніх точках кривої. Нехай в точці з параметром $s$ маємо дотичний вектор $\mathit{\tau }$, а в точці з параметром $s^{\prime }=s+\mathrm{\Delta }s$ — дотичний вектор ${\mathit{\tau }}^{\prime }=\mathit{\tau }+\mathrm{\Delta }\mathit{\tau }$. Ці два вектора мають однакову довжину (одиницю), і якщо їхні початки звести в одну точку, утворять рівнобедрений трикутник. Якщо кут між векторами позначити $\mathrm{\Delta }\alpha$, то довжина третьої сторони буде дорівнювати:

$|\mathrm{\Delta }\mathit{\tau }|=2\sin \frac{\mathrm{\Delta }\alpha }{2}\approx \mathrm{\Delta }\alpha$

Оскільки для кола радіуса $R$ маємо $\mathrm{\Delta }s=R\mathrm{\Delta }\alpha$, то маємо для кривини кривої:

$k=|\frac{d\mathit{\tau }}{ds}|\approx \frac{|\mathrm{\Delta }\mathit{\tau }|}{\mathrm{\Delta }s}=\frac{\mathrm{\Delta }\alpha }{R\mathrm{\Delta }\alpha }=\frac{1}{R}$

Другий спосіб: через рівняння кола. Для простоти формул, візьмемо початок координат евклідового простору в точці кривої, для якої ми будемо шукати найближче коло, а також будемо відраховувати натуральні параметри кривої і кола від цієї ж точки. З точністю до членів другого порядку малості маємо для точок кривої:

$(5)𝐫\approx \frac{d𝐫}{ds}s+\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}\frac{d^2𝐫}{d{s}^2}{s}^2=\mathit{\tau }s+\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}𝐤s^2$

Коло радіуса $R$, дотичне до вектора $\mathit{\tau }$, матиме центр в ортогональній до $\mathit{\tau }$ гіперплощині. Запишемо координати центра кола у вигляді ${𝐫}_c=R𝐧$, де $𝐧$ є довільним (поки що) одиничним вектором, що лежить у цій гіперплощині. Маємо ортогональність:

$(𝐧\cdot \mathit{\tau })=0$

Рівняння точки кола в параметричній формі (параметром є центральний кут):

$(6){𝐫}^{\prime }=R\sin t\mathit{\tau }+R(1-\cos t)𝐧$

Врахуємо, що довжина дуги кола дорівнює $s=Rt$, і розкладемо останнє рівняння в ряд з точністю до доданків другого порядку малості:

$(7){𝐫}^{\prime }\approx Rt\mathit{\tau }+\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}R{t}^2𝐧=\mathit{\tau }s+\frac{1}{2R}𝐧s^2$

Порівнюючи рівності (5) і (7), маємо що коло буде збігатися з кривою з точністю до членів другого порядку (${𝐫}^{\prime }\approx 𝐫$), якщо:

$(8)𝐤=\frac{1}{R}𝐧$

Типи кривих

• Замкнена крива — крива у якої початок збігається з кінцем (див. також Теорема Жордана).
• Плоска крива — крива, всі точки якої лежать в одній площині.
• Проста крива — те саме, що крива Жордана
• Шлях — неперервне відображення відрізка $[0,1]$ в топологічний простір.
• Трансцендентна крива

Типи точок на кривій

• Точка зламу
• Точка перегину

Скрут

Якщо евклідів простір має розмірність $n⩾3$, то можна поставити питання про зміну орієнтації дотичної площини (в якій лежать дотичний вектор $\mathit{\tau }$ та вектор нормалі $𝐧$) при русі вздовж кривої. Розглянемо бівектор (спеціальну антисиметричну матрицю, компоненти якої виражені через координати векторів $\mathit{\tau }$ і $𝐧$) $\mathit{\sigma }=\mathit{\tau }\wedge 𝐧$:

${\sigma }_{ij}={\tau }_i{n}_j-{\tau }_j{n}_i$

Величина цього бівектора дорівнює одиниці (площі квадрата, побудованого на векторах $\mathit{\tau }$ і $𝐧$):

$\sum _{i<j}({\sigma }_{ij}{)}^2=\frac{1}{2}\sum _{i,j}({\tau }_i{n}_j-{\tau }_j{n}_i{)}^2=\frac{1}{2}\sum _{i,j}({\tau }_i^2{n}_j^2+{\tau }_j^2{n}_i^2-2({\tau }_i{n}_i)({\tau }_j{n}_j))=(\mathit{\tau }\cdot \mathit{\tau })(𝐧\cdot 𝐧)-(\mathit{\tau }\cdot 𝐧{)}^2=1$

Похідна бівектора за натуральним параметром дорівнює:

$\dot{\mathit{\sigma }}=\dot{\mathit{\tau }}\wedge 𝐧+\mathit{\tau }\wedge \dot{𝐧}=k𝐧\wedge 𝐧+\mathit{\tau }\wedge \dot{𝐧}=\mathit{\tau }\wedge \dot{𝐧}$

Звідси робимо висновок, що дві площини $\mathit{\sigma }$ і ${\mathit{\sigma }}^{\prime }=\mathit{\sigma }+\mathrm{\Delta }\mathit{\sigma }$ перетинаються по прямій, дотичній до кривої (містять вектор $\mathit{\tau }$):

${\mathit{\sigma }}^{\prime }=\mathit{\tau }\wedge 𝐧+\mathit{\tau }\wedge \dot{𝐧}\mathrm{\Delta }s=\mathit{\tau }\wedge (𝐧+\dot{𝐧}\mathrm{\Delta }s)$

Отже дотична площина при русі вздовж кривої обертається «довкола» дотичної прямої. Поворот в тривимірному просторі має очевидний зміст, в просторах більшої розмірності поворот означає кут між нормалями до спільної прямої. Похідна кута повороту за натуральним параметром називається скрутом:

$\varkappa =\frac{d\varphi }{ds}=|\mathit{\tau }\wedge \dot{𝐧}|$

Формули Френе-Серре

Шаблон:Головна Розглянемо детальніше випадок кривої в тривимірному просторі. Два одиничні вектора $\mathit{\tau }$ і $𝐧$ ми можемо доповнити третім, їх векторним добутком:

$𝐟=\mathit{\tau }\times 𝐧$

Ці три вектори утворюють репер (змінний базис у тривимірному просторі), і ми можемо поставити питання, як похідні за натуральним параметром від векторів репера ($\dot{\mathit{\tau }}$, $\dot{𝐧}$ i $\dot{𝐟}$) розкладаються по цьому ж базису. Ми вже знаємо, що $\dot{\mathit{\tau }}=k𝐧$. Залишається знайти похідні ще двох одиничних векторів. Почнемо з одиничного вектора нормалі $𝐧$. Із постійності величини цього вектора знаходимо:

$0=\frac{d}{ds}(𝐧\cdot 𝐧)=2(𝐧\cdot \dot{𝐧})$

Тобто похідна $\dot{𝐧}$ ортогональна до самого вектора нормалі $𝐧$, а тому розкладається по двом іншим векторам репера:

$(9)\dot{𝐧}=\alpha \mathit{\tau }+\beta 𝐟$

Користуючись цим розкладом, можна знайти і похідну $\dot{𝐟}$:

$\dot{𝐟}=\frac{d}{ds}(\mathit{\tau }\times 𝐧)=\dot{\mathit{\tau }}\times 𝐧+\mathit{\tau }\times \dot{𝐧}=k𝐧\times 𝐧+\mathit{\tau }\times (\alpha \mathit{\tau }+\beta 𝐟)=\beta \mathit{\tau }\times 𝐟=-\beta 𝐧$

Знайдемо коефіцієнти розкладу $\alpha$ і $\beta$. З останньої формули видно, що $\beta$ (з точністю до знаку) є швидкістю повороту одиничного вектора $𝐟$, а отже і дотичної до кривої площини ($𝐟$ є вектором нормалі до цієї площини). Отже цей коефіцієнт є крученням: $\beta =\varkappa$. Коефіцієнт $\alpha$ можна знайти, скалярно помноживши рівність (9) на $\mathit{\tau }$:

$\alpha =(\mathit{\tau }\cdot \dot{𝐧})=\frac{d}{ds}(\mathit{\tau }\cdot 𝐧)-(\dot{\mathit{\tau }}\cdot 𝐧)=-(k𝐧\cdot 𝐧)=-k$

У підсумку одержуємо систему трьох рівнянь:

$\dot{\mathit{\tau }}=k𝐧$

$\dot{𝐧}=-k\mathit{\tau }+\varkappa 𝐟$

$\dot{𝐟}=-\varkappa 𝐧$

Ці рівняння відкрили два французькі математики: Шаблон:Li (1852) і Шаблон:Li (1851).

Коефіцієнт $\varkappa$ у формулах Френе — Серре може бути додатнім або від'ємним в залежності від того, правою чи лівою гвинтовою лінією апроксимується крива в околі даної точки.

Див. також

• Лінія
• Алгебрична крива
• Відстань Фреше

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр