Ортогональність

Лінійні відрізки AB і CD є ортогональними один до одного.

Ортогональність (від Шаблон:Lang-el — прямий і Шаблон:Lang-el — кут) — термін, який узагальнює перпендикулярність векторів на білінійні форми.

Визначення

Нехай $R$ — прегільбертів простір. Елементи $x\in R$, $y\in R$ називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює 0:

$⟨x,y⟩=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i=0$,

що позначається $x\perp y$.

Множина векторів називається ортогональною, якщо довільна пара з цієї множини ортогональна. Якщо всі вектори цієї множини одиничні, то вона називається множиною ортнормованих векторів. Не-нульові ортогональні вектори лінійно незалежні.

Якщо для системи векторів $x_1,x_2,\dots ,x_n$ простору $R$ визначник Грама дорівнює 0, то ці вектори лінійно залежні.

В Евклідовому просторі

В 2- або 3- вимірному Евклідовому просторі два вектори ортогональні, якщо скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю, тобто кут між ними 90° або π/2 радіан. Таким чином, ортогональність векторів є узагальненням перпендикулярності.

В Евклідових підпросторах ортогональним доповненням прямої є площина, і навпаки.

Ортогональні функції

Шаблон:Main Дві дійсні функції $f(x)$ та $g(x)$ є ортогональними одна щодо одної у інтервалі $a\le x\le b,$ якщо

$⟨f,g⟩=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx=0.$

Скалярний добуток двох функцій можна ввести також і з деякою ваговою функцією w(x):

$⟨f,g{⟩}_w=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)w(x)dx.$

Подібно до векторів, набір функцій можна ортогоналізувати використовуючи, наприклад, процес Грама — Шмідта.

Норму можна визначити через скалярний добуток:

$\Vert f{\Vert }_w=\sqrt{⟨f,f{⟩}_w}$

Див. також

• Перпендикулярність
• Базис (математика)
• Ряд Фур'є, Ряд Тейлора
• Ортогональна група
• Ортогональна матриця
• Ортогональність (хімія)

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Банах.Диференціальне та інтегральне числення