Ортогональна матриця

Ортогональна матриця — невироджена квадратна матриця $A$ (зазвичай із дійсними елементами) така, що

A A^{T} = A^{T} A = I

,

де

A^{T}

A

,

I

A^{- 1} = A^{T} .

Ортогональна матриця є частковим випадком унітарної матриці.

Властивості

Визначник ортогональної матриці дорівнює $\pm 1$ .
Скалярний добуток рядка матриці (чи стовпця) на інший рядок (чи стовпець) дорівнює нулю, а скалярний добуток на самого себе дорівнює одиниці (стовпці й рядки ортогональної матриці утворюють ортонормовані системи).

тобто, для ортогональної матриці

A = (a_{i j})

справедливі формули:

\sum_{i} a_{i j} a_{i k} = δ_{j k}, \sum_{i} a_{j i} a_{k i} = δ_{j k},

де

δ_{j k}

Ортогональні матриці відповідають лінійним операторам, що переводять ортонормований базис векторного простору в ортонормований.
Довільна дійсна ортогональна матриця подібна блочно-діагональній матриці з блоками виду

(\pm 1), (\begin{matrix} \cos φ & \sin φ \\ - \sin φ & \cos φ \end{matrix}) .

Ортогональні матриці порядку $n$ над полем $k$ утворюють групу за множенням. Це ортогональна група, що позначається $O_{n} (k)$ (якщо $k$ опущено — вважається $k = ℝ$ ).

Ортогональна матриця з визначником +1 є матрицею повороту.
Ортогональну матрицю з визначником -1 можна подати у вигляді добутку двох матриць: матриці повороту на матрицю симетрії відносно (гіпер)площини (перетворення Хаусхолдера).