Матриця повороту

Шаблон:UniboxМатриця повороту — матриця переходу, яка зв'язує між собою координати векторів векторного простору при зміні системи координат.

В новій системі координат вектор $x$ переходить у вектор $x^{\prime }.$ Між новими та старими координатами існує лінійний зв'язок

$x^{\prime }=R\cdot x.$

Цей зв'язок визначається матрицею повороту $R.$

Властивості

• Оскільки поворот — це перетворення координат, при якому зберігаються довжини векторів, то $(x^{\prime }{)}^T\cdot x^{\prime }=x^T{R}^T\cdot Rx=x^T\cdot x,$

отже, матриця повороту є ортогональною матрицею:

$R^{-1}=R^T$ (обернена матриця дорівнює транспонованій матриці).

• Оскільки поворот зберігає орієнтацію, то

$\det R=+1$ (детермінант матриці повороту дорівнює одиниці).

• Добутком матриць повороту є матриця повороту:

$(R_1{R}_2{)}^T(R_1{R}_2)=R_2^T(R_1^T{R}_1)R_2=I,$

$\det (R_1{R}_2)=(\det R_1)(\det R_2)=+1.$

Три вищеперераховані властивості означають, що матриці повороту утворюють дійсну спеціальну ортогональну групу (SO(n)).

• Корисною є властивість взаємодії з векторним добутком:

$R(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})=R\overrightarrow{a}\times R\overrightarrow{b}.$

Матриця повороту на площині

Файл:Rotate.PNG

Поворот в площині на кут $\phi$ переводить точку $(x,y)$ в точку $(x^{\prime },y^{\prime })$

У двовимірному випадку матриця повороту має вигляд

$R(\phi )=\left[\begin{array}{cc}\cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right],$

де $\phi$ — кут повороту проти годинникової стрілки.

Вона обертає вектор рядок за допомогою наступного множення матриць,

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$.

Тож нові координати (x',y') точки (x,y) після обертання будуть наступні:

$x^{\prime }=x\cos \phi -y\sin \phi$,

$y^{\prime }=x\sin \phi +y\cos \phi$.

Матриця повороту в тривимірному просторі

• Матриці повороту відносно осей x, y та z відповідно:

$R_x(\phi )=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \phi & -\sin \phi \\ 0& \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right],R_y(\phi )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \phi & 0& \sin \phi \\ 0& 1& 0\\ -\sin \phi & 0& \cos \phi \end{array}\right],R_z(\phi )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \phi & -\sin \phi & 0\\ \sin \phi & \cos \phi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right].$

• Матриця повороту може бути виражена через кути Ейлера як

$R=R_z(\phi )\cdot R_y(\theta )\cdot R_x(\psi ).$

• Матриця повороту відносно одиничного вектора $𝐮=(x,y,z)$ на кут $\phi$:

$R_{𝐮}(\phi )={𝐮𝐮}^T+(I-{𝐮𝐮}^T)\cos \phi +[𝐮{]}_{\times }\sin \phi ,$

де

$[𝐮{]}_{\times }$ — матриця векторного добутку,

$𝐮\mathbf{\otimes }𝐮={𝐮𝐮}^T$ — тензорний добуток векторів (результатом є матриця).

Кожен з трьох доданків є ортогональним до двох інших:

перший — проектор на лінію вектора u,

інші — на лінії, що перпендикулярні вектору u.

Вищенаведена формула — матричний запис формули повороту Родрігеса.

Матриця повороту в просторі Мінковського

У просторі Мінковського матриця повороту включає в себе як просторові повороти, так і переходи від однієї інерційної системи відліку до іншої, які задаються перетвореннями Лоренца.

Див. також

• Кватерніони і повороти простору
• Унітарна матриця

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Ланкастер.Теорія матриць
• Шаблон:Хорн.Джонсон.Матричний аналіз
• Шаблон:Golub.Loan.Matrix Computations
• Шаблон:MathWorld