Перетворення Лоренца

Дві системи відліку, одна з яких рухається зі швидкістю $\overrightarrow{v}$ відносно іншої

Перетворення Лоренца — лінійні перетворення координат простору Мінковського, що залишають незмінним просторово-часовий інтервал. Перетворення Лоренца пов'язують координати подій в різних інерційних системах відліку та мають фундаментальне значення в фізиці. Інваріантність фізичної теорії відносно перетворень Лоренца, або загальна коваріантність, є необхідною умовою достовірності цієї теорії.

Формулювання

Найбільш розповсюджена форма запису перетворень Лоренца зв'язує координати події в інерційній системі відліку K з координатами тієї ж події в системі K′, яка рухається відносно K зі швидкістю V вздовж осі x:

$x^{\prime }=\frac{x-Vt}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}},y^{\prime }=y,z^{\prime }=z,t^{\prime }=\frac{t-(V/c^2)x}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}$,

де x, y, z, t — координати події в системі K; x′, y′, z′, t′ — координати тієї ж події в системі K′; V — відносна швидкість двох систем; c — швидкість світла.

Зворотні формули (перехід від системи K′ до K) можна отримати заміною V → -V:

$x=\frac{x^{\prime }+V{t}^{\prime }}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}},y=y^{\prime },z=z^{\prime },t=\frac{t^{\prime }+(V/c^2)x^{\prime }}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}$.

Властивості перетворень Лоренца

З формул перетворень легко побачити, що при граничному переході $c\to \mathrm{\infty }$ до класичної механіки або — що те ж саме — при швидкостях значно менших швидкості світла формули перетворення Лоренца переходять в перетворення Галілея за принципом відповідності.

При V > c координати x, t стають уявними, що означає той факт, що рух зі швидкістю, більшою за швидкість світла в вакуумі, неможливий. Неможливо навіть використовувати систему відліку, яка б рухалась зі швидкістю світла, бо тоді знаменники у формулах дорівнювали б нулю.

На відміну від перетворень Галілея, перетворення Лоренца некомутативні: результат двох послідовних перетворень Лоренца залежить від їхнього порядку. Це можна побачити з формального тлумачення перетворень Лоренца як обертань чотиривимірної системи координат, де, як відомо, результат двох обертань навколо різних осей залежить від порядку їх виконання. Винятком з цього правила є лише перетворення з паралельними векторами швидкостей V₁||V₂, які еквівалентні поворотам системи координат відносно однієї осі.

Історична довідка

Поштовхом до відкриття перетворень Лоренца послужив нульовий результат інтерференційного експерименту Майкельсона — Морлі. Для усунення виявлених труднощів теорії ефіру Лоренц припустив, що всі тіла при поступальному русі змінюють свої розміри, а саме, що зменшення розмірів тіла в напрямку руху визначається множником $\varkappa \sqrt{1-v^2/c^2}$, де $\varkappa$ — зменшення розмірів в напрямку, перпендикулярному руху тіла. Необхідно було органічно ввести це зменшення розмірів у теорію.

Формули, що відомі зараз як перетворення Лоренца, першим вивів Джозеф Лармор в 1900 році, таким чином він врахував зміну масштабу часу при русі. 1904 року Лоренц довів інваріантність рівнянь Максвелла відносно таких перетворень, але в них ще входив невизначений множник $\varkappa$ та різні інерційні системи не розглядалися повністю рівноправними.

В 1905 Анрі Пуанкаре виправив прогалини в праці Лоренца та досяг повної коваріантності електродинаміки. Принцип відносності був визначений ним як загальне та строге положення. Саме в працях Пуанкаре вперше трапляються назви перетворення Лоренца та група Лоренца.

Виведення

В рамках основного виведення використовуються чотири аксіоми.

Форми запису перетворень Лоренца

Матричний запис перетворень Лоренца

Часто, особливо в англомовній літературі, перетворення Лоренца записують у вигляді матриці повороту ||Λ^α′_β||, що переводить компоненти 4-вектора x^β системи K в компоненти 4-вектора x^α′ = Λ^α′_βx^β, системи K′:

$\left[\begin{array}{c}c{t}^{\prime }\\ x^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{\sqrt{1-V^2/c^2}}& -\frac{V/c}{\sqrt{1-V^2/c^2}}& 0& 0\\ -\frac{V/c}{\sqrt{1-V^2/c^2}}& \frac{1}{\sqrt{1-V^2/c^2}}& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}ct\\ x\\ y\\ z\end{array}\right]$.

Формули перетворень Лоренца з довільною орієнтацією осей систем

У випадку коли осі x координатних систем не паралельні швидкості формули перетворення були отримані Герглотцем у 1911 році. Для виводу цих формул зручно розділити радіус-вектор частки r в системі K на компоненту r_||, яка паралельна швидкості V відносного руху інерціальних систем, та компоненту r_⊥, яка перпендикулярна V. Тоді при переході до іншої системи K′ буде змінюватись тільки паралельна складова r_||:

${{𝐫}_{\mathbf{\Vert }}}^{\prime }=\frac{{𝐫}_{\mathbf{\Vert }}-𝐕t}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}},{{𝐫}_{\mathbf{\perp }}}^{\prime }={𝐫}_{\mathbf{\perp }},t^{\prime }=\frac{t-(𝐕,{𝐫}_{\mathbf{\Vert }})/c^2}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}$

Остаточно для радіус-вектора частки в системі K′ r′ = r′_|| + r′_⊥ формули будуть виглядати так:

${𝐫}^{\prime }=𝐫+\frac{1}{V^2}(\frac{1}{\sqrt{1-V^2/c^2}}-1)(𝐫,𝐕)𝐕-\frac{𝐕t}{\sqrt{1-V^2/c^2}}$,

$t^{\prime }=\frac{t-(1/c^2)(𝐫,𝐕)}{\sqrt{1-V^2/c^2}}$.

Гіперболічна форма запису

З математичного погляду інтервал між двома подіями ((Δx)²+(Δy)²+(Δz)²-(cΔt)²) можна розглядати як аналог «відстані» між двома точками в чотиривимірному просторі Мінковського. Отже, згідно з визначенням, перетворення Лоренца мають зберігати незмінним будь-який інтервал у цьому просторі. Лінійними перетвореннями з такими властивостями є лише паралельні переноси та обертання системи координат. Паралельні переноси та обертання в площинах xy, yz, zx зводяться до переносу початку відліку простору та часу і звичайних просторових поворотів. Останні (повороти системи координат у трьох площинах tx, ty, tz) і є перетвореннями Лоренца.

Якщо ввести «кут повороту» ψ, такий що

$\text{sh}\psi =\frac{V/c}{\sqrt{1-V^2/c^2}},\text{ch}\psi =\frac{1}{\sqrt{1-V^2/c^2}}$,

то перетворення Лоренца для систем K та K′ із паралельними осями можна записати в гіперболічній формі:

ct′ = -x shψ + ct chψ,

x′ = x chψ — ct shψ,

y′ = y,

z′ = z.

Ці формули відрізняються від звичних формул перетворення координат при поворотах (в евклідовому просторі) заміною тригонометричних функцій гіперболічними. У цьому виявляються відмінність псевдоевклідового простору Мінковського від звичайного евклідового.

Перетворення Лоренца для електромагнітного поля

Релятивістські перетворення для компонент векторів $𝐄,𝐁$ тензора електромагнітного поля при переході від однієї ІСВ до іншої у псевдоевклідовому просторі-часі:

${𝐄}^{\prime }=\gamma (𝐄+\frac{1}{c}[𝐮\times 𝐁])-\mathrm{\Gamma }\frac{𝐮}{c^2}(𝐮\cdot 𝐄)$,

${𝐁}^{\prime }=\gamma (𝐁-\frac{1}{c}[𝐮\times 𝐄])-\mathrm{\Gamma }\frac{𝐮}{c^2}(𝐮\cdot 𝐁)$,

де $𝐮=const$ - вектор відносної швидкості між ІСВ,

$\mathrm{\Gamma }=\frac{{\gamma }^2}{1+\gamma }=\frac{\gamma -1}{\frac{u^2}{c^2}}$.

Перетворення можна отримати, маючи вираз для сили Лоренца та вираз для перетворення 3-вектора сили при переході між ІСВ:

$𝐅=q𝐄+\frac{q}{c}[𝐯\times 𝐁](.1)$.

$\frac{𝐅}{\gamma (1-\frac{(𝐮\cdot 𝐯)}{c^2})}={𝐅}^{\prime }-\gamma \frac{𝐮}{c^2}({𝐯}^{\prime }\cdot {𝐅}^{\prime })+\mathrm{\Gamma }\frac{𝐮}{c^2}(𝐮\cdot {𝐅}^{\prime })(.2)$.

Із перетворень видно, що вектори напруженості та індукції не є компонентами будь-яких 4-векторів, а входять до деякого антисиметричного 4-тензору (перетворення саме такого вигляду можна отримати у рамках СТВ для антисиметричних тензорів).

Перетворення Лоренца для загального поля

Довільні стани невзаємодіючої багачастинкової системи (стани Фока) у КТП перетворюються за правилом

Шаблон:NumBlk де: Шаблон:Math — поворот Вігнера і Шаблон:Math — Шаблон:Nowrap представлення [[SO(3)|Шаблон:Math]].

Див. також

• Група Лоренца

Література

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учеб. пособие. В 10 т. Т. II Теория поля. — М.: Наука, 1988. ISBN 5-02-014420-7.
• Паули В. Теория относительности. — М.: Наука, 1991. ISBN 5-02-014346-4.