Гіперболічні функції

sh, ch та th

Гіперболі́чні фу́нкції — сімейство елементарних функцій, які виражаються через експоненту і тісно пов'язані з тригонометричними функціями.

Визначення

Визначення гіперболічних функцій через гіперболу

Гіперболічні функції задаються такими формулами:

• Шаблон:Якірецьгіперболічний синус:

$\mathrm{s}\mathrm{h}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ (в іноземній літературі позначається $\sinh x$).

Існує сленгова назва: «шинус».

• Шаблон:Якірецьгіперболічний косинус:

$\mathrm{c}\mathrm{h}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ (в іноземній літературі позначається $\cosh x$).

Існує сленгова назва: «чосинус», «кошинус».

Лінію гіперболічного косинуса називають ланцюговою, бо саме таку форму приймає ланцюг або мотузка, яку підвісили за обидва кінці в однорідному гравітаційному полі.

• Шаблон:Якірецьгіперболічний тангенс:

$\mathrm{t}\mathrm{h}x=\frac{\mathrm{s}\mathrm{h}x}{\mathrm{c}\mathrm{h}x}$ (в іноземній літературі позначається $\tanh x$).

Існують сленгові назви: «щангенс», «цангенс».

Іноді також визначається

• Шаблон:Якірецьгіперболічний котангенс:

$\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{h}x=\frac{1}{\mathrm{t}\mathrm{h}x}$,

• Шаблон:ЯкірецьШаблон:Якірецьгіперболічні секанс і косеканс:

$\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}x=\frac{1}{\mathrm{c}\mathrm{h}x}$,

$\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}x=\frac{1}{\mathrm{s}\mathrm{h}x}$.

Властивості

Один зі способів визначення тригонометричних функцій через одиничне коло

Зв'язок з тригонометричними функціями

Гіперболічні функції виражаються через тригонометричні функції від уявного аргументу.

$\mathrm{sh}x=-i\sin (ix),\mathrm{ch}x=\cos (ix),\mathrm{th}x=-i\mathrm{tg}(ix)$.

$\mathrm{sh}(ix)=i\sin x,\mathrm{ch}(ix)=\cos x,\mathrm{th}(ix)=i\mathrm{tg}x$.

Функція Гудермана зв'язує тригонометричні функції та гіперболічні функції без залучення комплексних чисел.

Важливі тотожності

1. ${\mathrm{ch}}^{2}x-{\mathrm{sh}}^{2}x=1$.
2. Парність:
   1. $\mathrm{sh}(-x)=-\mathrm{sh}x$,
   2. $\mathrm{ch}(-x)=\mathrm{ch}x$,
   3. $\mathrm{th}(-x)=-\mathrm{th}x$.
3. Формули додавання:
   1. $\mathrm{sh}(x\pm y)=\mathrm{sh}x\mathrm{ch}y\pm \mathrm{sh}y\mathrm{ch}x$,
   2. $\mathrm{ch}(x\pm y)=\mathrm{ch}x\mathrm{ch}y\pm \mathrm{sh}y\mathrm{sh}x$,
   3. $\mathrm{th}(x\pm y)=\frac{\mathrm{th}x\pm \mathrm{th}y}{1\pm \mathrm{th}x\mathrm{th}y}$.
4. Формули подвоєного кута:
   1. $\mathrm{sh}2x=2\mathrm{ch}x\mathrm{sh}x=\frac{2\mathrm{th}x}{1-{\mathrm{th}}^{2}x}$,
   2. $\mathrm{ch}2x={\mathrm{ch}}^{2}x+{\mathrm{sh}}^{2}x=2{\mathrm{ch}}^{2}x-1=1+2{\mathrm{sh}}^{2}x=\frac{1+{\mathrm{th}}^{2}x}{1-{\mathrm{th}}^{2}x}$,
   3. $\mathrm{th}2x=\frac{2\mathrm{th}x}{1+{\mathrm{th}}^{2}x}$,
   4. $\mathrm{cth}2x=\frac{1}{2}(\mathrm{th}x+\mathrm{cth}x)$,
   5. $\mathrm{th}x=\frac{\mathrm{ch}2x-1}{\mathrm{sh}2x}=\frac{\mathrm{sh}2x}{1+\mathrm{ch}2x}$,
   6. $\mathrm{ch}2x\pm \mathrm{sh}2x=(\mathrm{sh}x\pm \mathrm{ch}x{)}^2$.
5. Формули кратних кутів:
   1. $\mathrm{sh}3x=4{\mathrm{sh}}^{3}x+3\mathrm{sh}x$,
   2. $\mathrm{ch}3x=4{\mathrm{ch}}^{3}x-3\mathrm{ch}x$,
   3. $\mathrm{th}3x=\mathrm{th}x\frac{3+{\mathrm{th}}^{2}x}{1+3{\mathrm{th}}^{2}x}$,
   4. $\mathrm{sh}5x=16{\mathrm{sh}}^{5}x+20{\mathrm{sh}}^{3}x+5\mathrm{sh}x$,
   5. $\mathrm{ch}5x=16{\mathrm{ch}}^{5}x-20{\mathrm{ch}}^{3}x+5\mathrm{ch}x$,
   6. $\mathrm{th}5x=\mathrm{th}x\frac{{\mathrm{th}}^{4}x+10{\mathrm{th}}^{2}x+5}{5{\mathrm{th}}^{4}x+10{\mathrm{th}}^{2}x+1}$.
6. Добуток
   1. $\mathrm{sh}x\mathrm{sh}y=\frac{\mathrm{ch}(x+y)-\mathrm{ch}(x-y)}{2}$,
   2. $\mathrm{sh}x\mathrm{ch}y=\frac{\mathrm{sh}(x+y)+\mathrm{sh}(x-y)}{2}$,
   3. $\mathrm{ch}x\mathrm{ch}y=\frac{\mathrm{ch}(x+y)+\mathrm{ch}(x-y)}{2}$,
   4. $\mathrm{th}x\mathrm{th}y=\frac{\mathrm{ch}(x+y)-\mathrm{ch}(x-y)}{\mathrm{ch}(x+y)+\mathrm{ch}(x-y)}$.
7. Суми
   1. $\mathrm{sh}x\pm \mathrm{sh}y=2\mathrm{sh}\frac{x\pm y}{2}\mathrm{ch}\frac{x\mp y}{2}$,
   2. $\mathrm{ch}x+\mathrm{ch}y=2\mathrm{ch}\frac{x+y}{2}\mathrm{ch}\frac{x-y}{2}$,
   3. $\mathrm{ch}x-\mathrm{ch}y=2\mathrm{sh}\frac{x+y}{2}\mathrm{sh}\frac{x-y}{2}$,
   4. $\mathrm{th}x\pm \mathrm{th}y=\frac{\mathrm{sh}x\pm y}{\mathrm{ch}x\mathrm{ch}y}$.
8. Формули пониження степеня
   1. ${\mathrm{ch}}^2\frac{x}{2}=\frac{\mathrm{ch}x+1}{2}$,
   2. ${\mathrm{sh}}^2\frac{x}{2}=\frac{\mathrm{ch}x-1}{2}$.
9. Похідні:
   1. $(\mathrm{sh}x{)}^{\prime }=\mathrm{ch}x$,
   2. $(\mathrm{ch}x{)}^{\prime }=\mathrm{sh}x$,
   3. $(\mathrm{th}x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\mathrm{ch}}^{2}x}$,
   4. $\mathrm{sh}x=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\mathrm{ch}tdt$,
   5. $\mathrm{ch}x=1+\underset{0}{\overset{x}{\int }}\mathrm{sh}tdt$,
   6. $\mathrm{th}x=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{{\mathrm{ch}}^{2}t}$.
10. Інтеграли:
    1. $\int \mathrm{sh}xdx=\mathrm{ch}x+C$,
    2. $\int \mathrm{ch}xdx=\mathrm{sh}x+C$,
    3. $\int \mathrm{th}xdx=\ln \mathrm{ch}x+C$,
    4. $\int \frac{1}{{\mathrm{ch}}^{2}x}dx=\mathrm{th}x+C$,
    5. $\int \frac{1}{{\mathrm{sh}}^{2}x}dx=-\mathrm{cth}x+C$.

Дивись також: Таблиця інтегралів гіперболічних функцій, Таблиця інтегралів обернених гіперболічних функцій

Нерівності

При всіх $x\in ℝ$ виконується

1. $0\le \mathrm{ch}x-1\le |\mathrm{sh}x|<\mathrm{ch}x$,
2. $|\mathrm{th}x|<1$.

Розкладання в степеневі ряди

$\mathrm{sh}x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\dots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$,

$\mathrm{ch}x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\dots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$,

$\mathrm{th}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\dots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}{2}^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!},|x|<\frac{\pi }{2}$,

$\mathrm{cth}x=\frac{1}{x}+\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}+\frac{2x^5}{945}+\dots =\frac{1}{x}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}{2}^{2n}{B}_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!},0<|x|<\pi$ (Ряд Лорана).

Тут $B_{2n}$ — числа Бернуллі.

Графіки

Файл:Гиперфункції.png

sh(x), ch(x), th(x), cth(x)

Аналітичні властивості

Гіперболічний синус і гіперболічний косинус аналітичний у всій комплексній площині, за винятком істотно особливої точки на нескінченності. Гіперболічний тангенс аналітичний скрізь, окрім полюсів в точках $z=i\pi (n+\frac{1}{2})$, де $n$ — ціле. Лишки у всіх цих полюсах рівні одиниці. Гіперболічний котангенс аналітичний скрізь, окрім точок $z=i\pi n$, лишки в цих полюсах також рівні одиниці.

Див. також

• Обернені гіперболічні функції

Посилання

• Шаблон:Клепко ВМ
• Шаблон:Cite web Шаблон:Ref-ru
• Шаблон:Фіхтенгольц.укр