Таблиця інтегралів гіперболічних функцій

Це список інтегралів (первісних функцій) гіперболічних функцій. Для повнішого списку інтегралів дивись Таблиця інтегралів.

У всіх цих формурах під a мається на увазі ненульова константа, C означає константу інтегрування.

$\int \text{sh}axdx=\frac{\text{ch}ax}{a}+C$

$\int \text{ch}axdx=\frac{\text{sh}ax}{a}+C$

$\int {\text{sh}}^{2}axdx=\frac{\text{sh}2ax}{4a}-\frac{x}{2}+C$

$\int {\text{ch}}^{2}axdx=\frac{\text{sh}2ax}{4a}+\frac{x}{2}+C$

$\int {\text{th}}^{2}axdx=x-\frac{\text{th}ax}{a}+C$

$\int {\text{sh}}^{n}axdx=\frac{{\text{sh}}^{n-1}ax\text{ch}ax}{an}-\frac{n-1}{n}\int {\text{sh}}^{n-2}axdx($ для $n>0)$

також: $\int {\text{sh}}^{n}axdx=\frac{{\text{sh}}^{n+1}ax\text{ch}ax}{a(n+1)}-\frac{n+2}{n+1}\int {\text{sh}}^{n+2}axdx($ для $n<0\text{, }n\ne -1)$

$\int {\text{ch}}^{n}axdx=\frac{\text{sh}ax{\text{ch}}^{n-1}ax}{an}+\frac{n-1}{n}\int {\text{ch}}^{n-2}axdx($ для $n>0)$

також: $\int {\text{ch}}^{n}axdx=-\frac{\text{sh}ax{\text{ch}}^{n+1}ax}{a(n+1)}-\frac{n+2}{n+1}\int {\text{ch}}^{n+2}axdx($ для $n<0\text{, }n\ne -1)$

$\int \frac{dx}{\text{sh}ax}=\frac{1}{a}\ln \left|\text{th}\frac{ax}{2}\right|+C$

також: $\int \frac{dx}{\text{sh}ax}=\frac{1}{a}\ln \left|\frac{\text{ch}ax-1}{\text{sh}ax}\right|+C$

також: $\int \frac{dx}{\text{sh}ax}=\frac{1}{a}\ln \left|\frac{\text{sh}ax}{\text{ch}ax+1}\right|+C$

також: $\int \frac{dx}{\text{sh}ax}=\frac{1}{a}\ln \left|\frac{\text{ch}ax-1}{\text{ch}ax+1}\right|+C$

$\int \frac{dx}{\text{ch}ax}=\frac{2}{a}\text{arctg}{e}^{ax}+C$

$\int \frac{dx}{{\text{sh}}^{n}ax}=-\frac{\text{ch}ax}{a(n-1){\text{sh}}^{n-1}ax}-\frac{n-2}{n-1}\int \frac{dx}{{\text{sh}}^{n-2}ax}($ для $n\ne 1)$

$\int \frac{dx}{{\text{ch}}^{n}ax}=\frac{\text{sh}ax}{a(n-1){\text{ch}}^{n-1}ax}+\frac{n-2}{n-1}\int \frac{dx}{{\text{ch}}^{n-2}ax}($ для $n\ne 1)$

$\int \frac{{\text{ch}}^{n}ax}{{\text{sh}}^{m}ax}dx=\frac{{\text{ch}}^{n-1}ax}{a(n-m){\text{sh}}^{m-1}ax}+\frac{n-1}{n-m}\int \frac{{\text{ch}}^{n-2}ax}{{\text{sh}}^{m}ax}dx($ для $m\ne n)$

також: $\int \frac{{\text{ch}}^{n}ax}{{\text{sh}}^{m}ax}dx=-\frac{{\text{ch}}^{n+1}ax}{a(m-1){\text{sh}}^{m-1}ax}+\frac{n-m+2}{m-1}\int \frac{{\text{ch}}^{n}ax}{{\text{sh}}^{m-2}ax}dx($ для $m\ne 1)$

також: $\int \frac{{\text{ch}}^{n}ax}{{\text{sh}}^{m}ax}dx=-\frac{{\text{ch}}^{n-1}ax}{a(m-1){\text{sh}}^{m-1}ax}+\frac{n-1}{m-1}\int \frac{{\text{ch}}^{n-2}ax}{{\text{sh}}^{m-2}ax}dx($ для $m\ne 1)$

$\int \frac{{\text{sh}}^{m}ax}{{\text{ch}}^{n}ax}dx=\frac{{\text{sh}}^{m-1}ax}{a(m-n){\text{ch}}^{n-1}ax}+\frac{m-1}{n-m}\int \frac{{\text{sh}}^{m-2}ax}{{\text{ch}}^{n}ax}dx($ для $m\ne n)$

також: $\int \frac{{\text{sh}}^{m}ax}{{\text{ch}}^{n}ax}dx=\frac{{\text{sh}}^{m+1}ax}{a(n-1){\text{ch}}^{n-1}ax}+\frac{m-n+2}{n-1}\int \frac{{\text{sh}}^{m}ax}{{\text{ch}}^{n-2}ax}dx($ для $n\ne 1)$

також: $\int \frac{{\text{sh}}^{m}ax}{{\text{ch}}^{n}ax}dx=-\frac{{\text{sh}}^{m-1}ax}{a(n-1){\text{ch}}^{n-1}ax}+\frac{m-1}{n-1}\int \frac{{\text{sh}}^{m-2}ax}{{\text{ch}}^{n-2}ax}dx($ для $n\ne 1)$

$\int x\text{sh}axdx=\frac{x\text{ch}ax}{a}-\frac{\text{sh}ax}{a^2}+C$

$\int x\text{ch}axdx=\frac{x\text{sh}ax}{a}-\frac{\text{ch}ax}{a^2}+C$

$\int x^2\text{ch}axdx=-\frac{2x\text{ch}ax}{a^2}+(\frac{x^2}{a}+\frac{2}{a^3})\text{sh}ax+C$

$\int \text{th}axdx=\frac{\ln |\text{ch}ax|}{a}+C$

$\int \text{cth}axdx=\frac{\ln |\text{sh}ax|}{a}+C$

$\int {\text{th}}^{n}axdx=-\frac{{\text{th}}^{n-1}ax}{a(n-1)}+\int {\text{th}}^{n-2}axdx\text{(for }n\ne 1\text{)}$

$\int {\text{cth}}^{n}axdx=-\frac{{\text{cth}}^{n-1}ax}{a(n-1)}+\int {\text{cth}}^{n-2}axdx\text{(for }n\ne 1\text{)}$

$\int \text{sh}ax\text{sh}bxdx=\frac{1}{a^2-b^2}(a\text{sh}bx\text{ch}ax-b\text{ch}bx\text{sh}ax)+C($ для $a^2\ne b^2)$

$\int \text{ch}ax\text{ch}bxdx=\frac{1}{a^2-b^2}(a\text{sh}ax\text{ch}bx-b\text{sh}bx\text{ch}ax)+C($ для $a^2\ne b^2)$

$\int \text{ch}ax\text{sh}bxdx=\frac{1}{a^2-b^2}(a\text{sh}ax\text{sh}bx-b\text{ch}ax\text{ch}bx)+C($ для $a^2\ne b^2)$

$\int \text{sh}(ax+b)\sin (cx+d)dx=\frac{a}{a^2+c^2}\text{ch}(ax+b)\sin (cx+d)-\frac{c}{a^2+c^2}\text{sh}(ax+b)\cos (cx+d)+C$

$\int \text{sh}(ax+b)\cos (cx+d)dx=\frac{a}{a^2+c^2}\text{ch}(ax+b)\cos (cx+d)+\frac{c}{a^2+c^2}\text{sh}(ax+b)\sin (cx+d)+C$

$\int \text{ch}(ax+b)\sin (cx+d)dx=\frac{a}{a^2+c^2}\text{sh}(ax+b)\sin (cx+d)-\frac{c}{a^2+c^2}\text{ch}(ax+b)\cos (cx+d)+C$

$\int \text{ch}(ax+b)\cos (cx+d)dx=\frac{a}{a^2+c^2}\text{sh}(ax+b)\cos (cx+d)+\frac{c}{a^2+c^2}\text{ch}(ax+b)\sin (cx+d)+C$

Джерела

• Шаблон:Двайт-таблиці