Таблиця інтегралів

Шаблон:Числення Інтегрування є одною з двох основних операцій математичного аналізу. Тоді як диференціювання має прості правила, за якими можна знайти похідну складних функцій через диференціювання її складових функцій, для інтегралів це не так, і тому таблиці відомих первісних виявляються часто дуже корисними. На цій сторінці представлено список основних первісних.

C вживається як довільна стала інтегрування інтегрування, яку можна визначити якщо відомо значення інтеграла в якій-небудь точці.

Правила інтегрування функцій

$\int cf(x)dx=c\int f(x)dx$

$\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C$

$\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$

$\int [f(x)-g(x)]dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx$

$\int f(x)g(x)dx=f(x)\int g(x)dx-\int (d[f(x)]\int g(x)dx)dx$ , або, що те ж саме:

$\int u(x)v^{\prime }(x)dx=u(x)v(x)-\int u^{\prime }(x)v(x)dx$

Інтеграли простих функцій

Раціональні функції

$\int dx=x+C$

$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,$ якщо $n\ne -1$

$\int \frac{dx}{x}=\ln \left|x\right|+C$

$\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{x}{a}+C$

$\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$

Логарифмічні функції

$\int \ln xdx=x\ln x-x+C$

$\int {\log }_{b}xdx=x{\log }_{b}x-x{\log }_{b}e+C$

Показникові функції

$\int e^{x}dx=e^x+C$

$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$

Ірраціональні функції

$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C$

$\int \frac{-dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arccos \frac{x}{a}+C$

$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-a^2}}=\frac{1}{a}\text{arcsec}\frac{|x|}{a}+C$

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln \left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|+C$

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln \left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+C$

Тригонометричні функції

$\int \sin xdx=-\cos x+C$

$\int \cos xdx=\sin x+C$

$\int \mathrm{tg}xdx=-\ln |\cos x|+C$

$\int \mathrm{ctg}xdx=\ln |\sin x|+C$

$\int \sec xdx=\ln |\sec x+\mathrm{tg}x|+C$

$\int \mathrm{cosec}xdx=-\ln |\mathrm{cosec}x+\mathrm{ctg}x|+C$

$\int {\sec }^{2}xdx=\mathrm{tg}x+C$

$\int {\mathrm{cosec}}^{2}xdx=-\mathrm{ctg}x+C$

$\int \sec x\mathrm{tg}xdx=\sec x+C$

$\int \mathrm{cosec}x\mathrm{ctg}xdx=-\mathrm{cosec}x+C$

$\int {\sin }^{2}xdx=\frac{1}{2}(x-\sin x\cos x)+C$

$\int {\cos }^{2}xdx=\frac{1}{2}(x+\sin x\cos x)+C$

$\int {\sec }^{3}xdx=\frac{1}{2}\sec x\mathrm{tg}x+\frac{1}{2}\ln |\sec x+\mathrm{tg}x|+C$

$\int {\sin }^{n}xdx=-\frac{{\sin }^{n-1}x\cos x}{n}+\frac{n-1}{n}\int {\sin }^{n-2}xdx$

$\int {\cos }^{n}xdx=-\frac{{\cos }^{n-1}x\sin x}{n}+\frac{n-1}{n}\int {\cos }^{n-2}xdx$

$\int \frac{dx}{{\cos }^{2}x}=\mathrm{tg}x+C$

$\int \frac{dx}{{\sin }^{2}x}=-\mathrm{ctg}x+C$

Обернені тригонометричні функції

$\int \arcsin xdx=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C$

$\int \arccos xdx=x\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C$

$\int \mathrm{arctg}xdx=x\mathrm{arctg}x-\frac{1}{2}\ln |1+x^2|+C$

$\int \mathrm{arcsec}xdx=x\mathrm{arcsec}x+\frac{\sqrt{x^2-1}\ln (x+\sqrt{x^2-1})}{x\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}+C$

$\int \mathrm{arccosec}xdx=x\mathrm{arccosec}x+\frac{\sqrt{x^2-1}\ln (x+\sqrt{x^2-1})}{x\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}+C$

$\int \mathrm{arcctg}xdx=x\mathrm{arcctg}x+\frac{1}{2}\ln |1+x^2|+C$

Гіперболічні функції

$\int \mathrm{sh}xdx=\mathrm{ch}x+C$

$\int \mathrm{ch}xdx=\mathrm{sh}x+C$

$\int \mathrm{th}xdx=\ln |\mathrm{ch}x|+C$

$\int \mathrm{csch}xdx=\ln |\mathrm{th}\frac{x}{2}|+C$

$\int \mathrm{sech}xdx=\mathrm{arctg}(\mathrm{sh}x)+C$

$\int \mathrm{cth}xdx=\ln |\mathrm{sh}x|+C$

$\int {\mathrm{sech}}^{2}xdx=\mathrm{th}x+C$

Обернені гіперболічні функції

$\int \mathrm{arsh}xdx=x\mathrm{arsh}x-\sqrt{x^2+1}+C$

$\int \mathrm{arch}xdx=x\mathrm{arch}x-\sqrt{x^2-1}+C$

$\int \mathrm{arth}xdx=x\mathrm{arth}x+\frac{1}{2}\ln (1-x^2)+C$

$\int \mathrm{arcsch}xdx=x\mathrm{arcsch}x+\ln \left[x(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+1)\right]+C$

$\int \mathrm{arsech}xdx=x\mathrm{arsech}x-\mathrm{arctg}\left(\frac{x}{x-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)+C$

$\int \mathrm{arcth}xdx=x\mathrm{arcth}x+\frac{1}{2}\ln (x^2-1)+C$

Композитні функції

$\int \cos ax{e}^{bx}dx=\frac{e^{bx}}{a^2+b^2}(a\sin ax+b\cos ax)+C$

$\int \sin ax{e}^{bx}dx=\frac{e^{bx}}{a^2+b^2}(b\sin ax-a\cos ax)+C$

$\int \cos ax\mathrm{ch}bxdx=\frac{1}{a^2+b^2}(a\sin ax\mathrm{ch}bx+b\cos ax\mathrm{sh}bx)+C$

$\int \sin ax\mathrm{ch}bxdx=\frac{1}{a^2+b^2}(b\sin ax\mathrm{sh}bx-a\cos ax\mathrm{ch}bx)+C$

Функції абсолютних величин

$\int |(ax+b{)}^n|dx=\frac{(ax+b{)}^{n+2}}{a(n+1)|ax+b|}+C[n\text{ is odd, and }n\ne -1]$

$\int |\sin ax|dx=\frac{-1}{a}|\sin ax|\mathrm{ctg}ax+C$

$\int |\cos ax|dx=\frac{1}{a}|\cos ax|\mathrm{tg}ax+C$

$\int |\mathrm{tg}ax|dx=\frac{\mathrm{tg}ax[-\ln |\cos ax|]}{a|\mathrm{tg}ax|}+C$

$\int |\mathrm{cosec}ax|dx=\frac{-\ln |\mathrm{cosec}ax+\mathrm{ctg}ax|\sin ax}{a|\sin ax|}+C$

$\int |\sec ax|dx=\frac{\ln |\sec ax+\mathrm{tg}ax|\cos ax}{a|\cos ax|}+C$

$\int |\mathrm{ctg}ax|dx=\frac{\mathrm{tg}ax[\ln |\sin ax|]}{a|\mathrm{tg}ax|}+C$

Спеціальні функції

$\int \mathrm{Ci}(x)dx=x\mathrm{Ci}(x)-\sin x$

$\int \mathrm{Si}(x)dx=x\mathrm{Si}(x)+\cos x$

$\int \mathrm{Ei}(x)dx=x\mathrm{Ei}(x)-e^x$

$\int \mathrm{li}(x)dx=x\mathrm{li}(x)-\mathrm{Ei}(2\ln x)$

$\int \frac{\mathrm{li}(x)}{x}dx=\ln x\mathrm{li}(x)-x$

$\int \mathrm{erf}(x)dx=\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi }}+x\text{erf}(x)$

Визначені інтеграли без явних первісних

Шаблон:Main Для деяких функцій, чиї первісні не можуть бути представлені явно, тим не менш їхні деякі визначені інтеграли можуть бути обчислені. Тут перелічені деякі популярні інтеграли

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sqrt{x}{e}^{-x}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\pi }$ (дивись також Гамма-функція)

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\pi }$ (Гаусовий інтеграл)

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x{e}^{-a^2{x}^2}dx=\frac{1}{2a^2}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2{e}^{-a^2{x}^2}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{4a^3}$, де $a>0$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{2i+1}{e}^{-a^2{x}^2}dx=\frac{a!}{2a^{2i+2}}$, де $a>0;i=1,2,3...$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{2i}{e}^{-a^2{x}^2}dx=\frac{1*3*5*...*(2i-1)}{2^{i+1}{a}^{2i+1}}\sqrt{\pi }$, де $a>0;i=1,2,3...$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^n{e}^{-a^2{x}^2}dx=\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{n+1}{2})}{2a^{n+1}}$, де $a>0$; (дивись також Гамма-функція)

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^2}{6}$ (дивись також числа Бернуллі)

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^4}{15}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{e^{ax}+1}dx=\frac{\ln 2}{a}$ де $a>0$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x}{e^{ax}+1}dx=\frac{{\pi }^2}{12a^2}$ де $a>0$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^3}{e^{ax}+1}dx=\frac{7}{120}\frac{{\pi }^4}{a^4}$ де $a>0$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}dx=\frac{\pi }{2}$

$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{n}xdx=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^{n}xdx=\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \cdots \cdot (n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \cdots \cdot n}\frac{\pi }{2}$ (якщо n парне число і $n\ge 2$)

$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{n}xdx=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^{n}xdx=\frac{2\cdot 4\cdot 6\cdot \cdots \cdot (n-1)}{3\cdot 5\cdot 7\cdot \cdots \cdot n}$ (якщо $n$ непарне число і $n\ge 3$)

$\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\cos (\alpha x){\cos }^n(\beta x)dx=\{\begin{array}{cc}\frac{2\pi }{2^n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})& |\alpha |=|\beta (2m-n)|\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$ (для цілих $\alpha ,\beta ,m,n$ з $\beta \ne 0$ і $m,n\ge 0$, дивись також Біноміальний коефіцієнт)

$\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\sin (\alpha x){\cos }^n(\beta x)dx=0$ (для дійсних $\alpha ,\beta$ і невід'ємного цілого $n$, дивись також Симетрія)

$\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\sin (\alpha x){\sin }^n(\beta x)dx=\{\begin{array}{cc}(-1{)}^{(n+1)/2}(-1{)}^m\frac{2\pi }{2^n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})& n\text{ odd},\alpha =\beta (2m-n)\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$ (для цілих $\alpha ,\beta ,m,n$ з $\beta \ne 0$ і $m,n\ge 0$, дивись також Біноміальний коефіцієнт)

$\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\cos (\alpha x){\sin }^n(\beta x)dx=\{\begin{array}{cc}(-1{)}^{n/2}(-1{)}^m\frac{2\pi }{2^n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})& n\text{ even},|\alpha |=|\beta (2m-n)|\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$ (для цілих $\alpha ,\beta ,m,n$ з $\beta \ne 0$ та $m,n\ge 0$, дивись також Біноміальний коефіцієнт)

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\sin }^{2}x}{x^2}dx=\frac{\pi }{2}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{z-1}{e}^{-x}dx=\mathrm{\Gamma }(z)$ (де $\mathrm{\Gamma }(z)$ Гамма-функція)

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-(a{x}^2+bx+c)}dx=\sqrt{\frac{\pi }{a}}\exp \left[\frac{b^2-4ac}{4a}\right]$ (де $\exp [u]$ експонента $e^u$, і $a>0$)

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{e}^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_0(x)$ (де $I_0(x)$ модифікована Функція Бесселя першого роду)

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{e}^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_0\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(1+x^2/\nu {)}^{-(\nu +1)/2}dx=\frac{\sqrt{\nu \pi }\mathrm{\Gamma }(\nu /2)}{\mathrm{\Gamma }((\nu +1)/2))}$, $\nu >0$,  стосується функція густини ймовірності для T-розподілу Стьюдента

Для загального випадку, якщо первісної не існує, застосовується метод вичерпання:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=(b-a)\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=1}^{2^n-1}{\left(-1\right)}^{m+1}{2}^{-n}f(a+m\left(b-a\right)2^{-n}).$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}[\ln (1/x){]}^{p}dx=p!$

Випадково знайдені тотожності

$\begin{array}{cccc}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{-x}dx& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-n}& & (=1.29128599706266\dots )\\ \underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{x}dx& =-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{n}^{-n}& & (=0.783430510712\dots )\end{array}$

Обчислені Йоганном Бернуллі.

Див. також

• Методи інтегрування
• Таблиця похідних

Джерела

• Шаблон:Двайт-таблиці
• Шаблон:Клепко ВМ
• Шаблон:Фіхтенгольц.укр