Числа Бернуллі

$B_0=1$

$B_1=-\frac{1}{2}$

$B_2=\frac{1}{6}$

$B_3=0$

$B_4=-\frac{1}{30}$

$B_5=0$

$B_6=\frac{1}{42}$

$B_7=0$

$B_8=-\frac{1}{30}$

$B_9=0$

$B_{10}=\frac{5}{66}$

$B_{11}=0$

$B_{12}=-\frac{691}{2730}$

$B_{13}=0$

$B_{14}=\frac{7}{6}$

$B_{15}=0$

$B_{16}=-7\frac{47}{510}$

Числа Бернуллі — послідовність раціональних чисел $B_0,B_1,B_2,...$ знайдена Якобом Бернуллі в зв'язку з обчисленням суми однакових степенів натуральних чисел:

$\sum _{n=1}^{N-1}{n}^k=\frac{1}{k+1}\sum _{s=0}^k{C}_{k+1}^s{B}_s{N}^{k+1-s}$,

де $C_n^k$ — Біноміальний коефіцієнт.

Формула для чисел Бернуллі

Для чисел Бернуллі існує наступна рекурентна формула: $B_n=\frac{-1}{n+1}\sum _{k=1}^n{C}_{n+1}^{k+1}{B}_{n-k},n\in \mathbb{N}$

Властивості

• Всі числа Бернуллі з непарними номерами, крім $B_1$, дорівнюють нулю, знаки $B_{2n}$ міняються.
• Числа Бернуллі є значеннями при $x=0$ многочленів Бернуллі: $B_n=B_n(0)$.

Коефіцієнтами розкладу деяких елементарних функцій в степеневі ряди часто служать числа Бернуллі. Наприклад:

• Експоненційна генератриса для чисел Бернуллі:

$\frac{x}{e^x-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_n}{n!}{x}^n,|x|<2\pi$,

• $x\mathrm{ctg}x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{B}_{2n}\frac{2^{2n}}{(2n)!}{x}^{2n},|x|<\pi$,
• $\mathrm{tg}x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|B_{2n}|\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}{x}^{2n-1},|x|<\pi /2$.
• Ейлер вказав на зв'язок між числами Бернуллі і значеннями дзета-функції Рімана $\zeta (s)$ при парних $s=2m$:

$B_{2k}=2(-1{)}^{k+1}\frac{\zeta (2k)(2k)!}{(2\pi {)}^{2k}}.$

Із чого випливає

$B_n=-n\zeta (1-n)$ для всіх n.

• $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{2n-1}dx}{e^{2\pi x}-1}=\frac{1}{4n}|B_{2n}|,n=1,2,...$

У математиці, числа Бернуллі B_n є послідовністю раціональних чисел, яка глибоко пов'язана з теорією чисел. Вони тісно пов'язані зі значеннями дзета-функції Рімана для від'ємних аргументів.

Є кілька означень для чисел Бернуллі. Найпоширенішим є B_n = 0 для всіх непарних n, крім 1 і B₁ = −1/2, але деякі автори використовують B₁ = +1/2 і деякі пишуть B_n для B_2n. Значення перших ненульових чисел Бернуллі (більше значень нижче):

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Bn	1	−1/2	1/6	0	−1/30	0	1/42	0	−1/30	0	5/66	0	−691/2730	0	7/6

Числа Бернуллі були відкриті приблизно в однаковий час швейцарським математиком Якобом Бернуллі, в честь якого вони названі, і незалежно японським математиком Секі Такакадзу. Відкриття Секі було опубліковане посмертно в 1712 році у своїй роботі Katsuyo Sampo; Бернуллі, також посмертно, у своєму Шаблон:Нп 1713 року.

Вони з'являються в розкладі в ряд Тейлора функцій тангенса і гіперболічного тангенса, у формулі Ейлера — Маклорена, і у виразах для деяких значень дзета-функції Рімана.

Значення чисел Бернуллі

B_N = 0 для всіх непарних N', відмінне від 1. B ₁ = 1 / 2 або −1 / 2 в залежності від прийнятої конвенції (див. вище).

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Абрамович В. Числа Бернуллі, Квант, № 6, 1974;