Ряд Лорана

Розклад в ряд Лорана можливий у деякому скінченому кільці, з центром в точці c. Шлях інтегрування γ обирається з кільця, і від вибору того чи іншого шляху інтегрування у фіксованому кільці коефіцієнти розкладу не змінюються.

Ряд Лорана — двосторонній степеневий ряд, у який розкладається комплексна функція f(z). Ряди Лорана застосовують для дослідження комплексної функції у тих випадках, коли розклад у ряд Тейлора не може бути застосований. Їх названо на честь П'єра Альфонса Лорана, який уперше опублікував свої дослідження цих рядів 1843 року. Карл Вейєрштрасс, можливо, застосовував такі ряди ще у 1841 році, але не опублікував своїх результатів.

Для комплексної функції f(z), аналітичної у скінченому кільці з центром у точці c, у довільній точці кільця виконується рівність:

$f(z)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-c{)}^n$

де члени ряду a_n визначаються за формулою:

$a_n=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\gamma }\frac{f(z)dz}{(z-c{)}^{n+1}}.$

Шлях інтегрування γ є довільним замкненим контуром, що лежить у кільці і містить точку с.

Властивості

• Головною частиною ряду Лорана називаються члени з від'ємними степенями:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{-n}(z-a{)}^{(-n)}$

• Правильною частиною (Тейлорівською частиною) ряду Лорана називаються члени з невід'ємними степенями:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-a{)}^n$

• Якщо ряд Лорана збігається, то його внутрішність області збіжності є кільцем:

$D=\{z\in ℂ|r<|z-a|<R<\mathrm{\infty }\}$

• У своєму кільці збіжності $D$ ряд Лорана збігається абсолютно.

• Функція f(z) в певній точці допускає єдиний розклад у ряд Лорана (якщо такий розклад існує).

Теорема Лорана

Функція f(z) однозначна і аналітична в скінченому кільці $D=\{z\in ℂ|r<|z-a|<R<\mathrm{\infty }\}$ в довільній точці цього кільця допускає розклад у збіжний ряд Лорана.

Ряд Лорана є зручним інструментом для оцінки поведінки функції в околі ізольованої особливої точки. Залежно від головної частини ряду, особливу точку визначають як:

• усувна особлива точка, якщо головна частина не містить ненульових членів;

• простий полюс, якщо головна частина має скінчену кількість членів;

• істотно особлива точка, якщо головна частина має нескінчену кількість членів.

Приклади

Знайти розклад в ряд Лорана в точці $z=i$ функції

$\frac{1}{z^2+1}.$

Спочатку відзначимо

$\frac{1}{z^2+1}=\frac{1}{(z-i)(z+i)}.$

Далі,

$\frac{1}{z+i}=\frac{1}{2i+(z-i)}=-\frac{i}{2}\frac{1}{1-\frac{i}{2}(z-i)}.$

Останній дріб може бути розкладений у геометричну прогресію відносно $z-i$,

$\frac{1}{1-\frac{i}{2}(z-i)}=1+\frac{i}{2}(z-i)+{(\frac{i}{2}(z-i))}^2+{(\frac{i}{2}(z-i))}^3+\cdots$

Множимо прогресію на -i/2, і ділимо обидві частини на z - i:

$\frac{1}{z^2+1}=-\left(\frac{i}{2}\right)\frac{1}{z-i}-{\left(\frac{i}{2}\right)}^2-{\left(\frac{i}{2}\right)}^3(z-i)-{\left(\frac{i}{2}\right)}^4(z-i{)}^2-\cdots$

Як другий приклад можна розкласти в ряд Лорана квадрат вищерозглянутої функції

$\frac{1}{(z^2+1{)}^2}.$

Для цього необхідно піднести до квадрата отриману для попереднього прикладу прогресію. Зазвичай, піднесення до степеня нескінченної прогресії є складною операцією. Однак для обчислення перших $n$ членів ряду Лорана, нам достатньо перемножити між собою перші $n$ членів вихідної прогресії:

$\frac{-1}{4(z-i{)}^2}-\frac{i}{4(z-i)}+\frac{3}{16}+\cdots$

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Банах.Диференціальне та інтегральне числення
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч1

Шаблон:Послідовності й ряди