Абсолютна збіжність

Абсолютна збіжність числових рядів

Визначення

Ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ називають абсолютно збіжним числовим рядом, якщо збіжним є ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|a_k|$.

Властивості

• із збіжності ряду $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|a_k|$ випливає збіжність ряду $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$.
• При дослідженні абсолютної збіжності ряду використовують ознаки збіжності рядів з невід'ємними членами.
• Якщо ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|a_k|$ є розбіжним, то для виявлення умовної збіжності числового ряду використовують тонші ознаки: ознака Лейбніца, ознака Абеля, ознака Діріхле.

Абсолютна збіжність невласних інтегралів першого роду

Визначення

Невласний інтеграл першого роду $\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ називається абсолютно збіжним, якщо збіжним є інтеграл $\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x)|dx$.

Властивості

• із збіжності інтеграла $\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x)|dx$ випливає збіжність інтеграла $\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$.
• Для виявлення абсолютної збіжності невласного інтеграла першого роду використовують ознаки збіжності невласних інтегралів першого роду від невід'ємних функцій.
• Якщо інтеграл $\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x)|dx$ є розбіжним, то для виявлення умовної збіжності невласного інтеграла першого роду можуть бути використані ознаки Абеля і Діріхле.

Абсолютна збіжність невласних інтегралів другого роду

Визначення

Хай $f(x)$ визначена і інтегрована на $[a;b-\epsilon ]\mathrm{\forall }\epsilon \in (0;b-a)$, необмежена в лівому околі точки $b$. Невласний інтеграл другого роду $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ називається абсолютно збіжним, якщо збіжним є інтеграл $\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx$.

Властивості

• із збіжності інтеграла $\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx$ випливає збіжність інтеграла $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$.
• Для виявлення абсолютної збіжності невласного інтеграла другого роду використовують ознаки збіжності невласних інтегралів другого роду від невід'ємних функцій.
• Якщо інтеграл $\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx$ є розбіжним, то для виявлення умовної збіжності невласного інтеграла другого роду можуть бути використані ознаки Абеля і Діріхле.

Див. також

• Умовна збіжність
• Безумовна збіжність
• Теорема Данжуа — Лузіна

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр

Посилання

• Абсолютна сумовність Шаблон:Webarchive // ВУЕ
• Абсолютно збіжний ряд Шаблон:Webarchive // ВУЕ